Feladat: 1236. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Lengyel János 
Füzet: 1969/szeptember, 20 - 21. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1969/január: 1236. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen n olyan háromjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 3-szor akkora, mint a 75-tel kisebb szám számjegyeinek az összege. Jelöljük n egymás utáni jegyeit x, y, z-vel, a jegyek összegét s-sel, az n-75 szám jegyeit x1, y1, z1-gyel, a jegyek összegét s1-gyel. Feltevésünk szerint

s=3s1.(1)

Megvizsgáljuk, hogy az n-75 kivonást a 10-es számrendszerben szokásos módon, jegyenként elvégezve, milyen esetek fordulhatnak elő. Számunkra az lesz lényeges, hogy az egyes helyi értékű jegyek meghatározásánál keletkezik-e átviendő maradék, vagy sem.
xyz-75x1y1z1
a) Sehol sem keletkezik maradék, azaz
z≥5,y≥7;(2a)
ekkor x1=x,y1=y-7,z1=z-5, tehát
s=s1+12.(3a)

b) Az egyeseknél van maradék, a tízeseknél nincs, azaz
z<5,y≥8;(2b)
ekkorx1=x,y1=y-8,z1=z+5, tehát
s=s1+3.(3b)

c) Az egyeseknél nincs maradék, a tízeseknél van, azaz
z≥5,y<7;(2c)
ekkor x1=x-1,y1=y+3,z1=z-5, tehát
s=s1+3.(3c)

d) Az egyeseknél is, a tízeseknél is van maradék, azaz
z<5,y<8;(2d)
ekkor x1=x-1,y1=y+2,z1=z+5, tehát
s=s1-6.(3d)

Feladatunkban azonban (1) alapján s-s1=2s1, tehát az s-s1 különbség pozitív és páros, így csak az a) eset lehetséges, hiszen a b), c) esetekben ez a különbség páratlan, a d) esetben pedig negatív. Az s, s1 ismeretlenekre az (1), (3a) egyenletrendszert megoldva kapjuk, hogy
s=x+y+z=18,(4)
és s1=6. Ha viszont az n szám jegyeire (4) és (2a) teljesül, akkor (3a) szerint s1=s-12=6, tehát (1) is teljesül, így annak, hogy az n számnak meglegyen a kívánt tulajdonsága, szükséges és elégséges feltétele (2a) és (4) teljesülése.
Feladatunk szerint ezek között a számok között kell meghatároznunk a legkisebbet és a legnagyobbat. Legkisebb a szám, ha jegyei rendre a legkisebbek, tehát az első jegye 1-es és a másik kettő összege 17, eszerint a legkisebb, kívánt tulajdonságú szám a 189.
Mivel (2a) szerint z, y legkisebb értékei mellett is az összegük 12, így x lehető legnagyobb értéke 6 ‐ tehát a legnagyobb előírt tulajdonságú szám a 675.
 

Lengyel János (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)

 

II. megoldás. Legyen a két keresett szám n, ill. N. Mindkettő osztható 3-mal, mert számjegyeik összege egy-egy egész szám 3-szorosával egyenlő ‐ ti. n-75, ill. N-75 számjegyei összegének 3-szorosával.
Így n-75 és N-75 is osztható 3-mal, mert 75 is osztható vele, és ha egy különbség mindkét tagja osztható egy számmal, akkor maga a különbség is osztható vele.
Eszerint n-75 és N-75 számjegyeinek összege 3k, ill. 3K alakú szám (ahol k, K természetes számok), ezért n, N számjegyeinek összege 9k, ill. 9K alakú, tehát n is, N is, osztható 9-cel.
Ezeket tudva n és N jegyeinek összegére csak 9 és 18 jön szóba. Ugyanis háromjegyű szám számjegyeinek összege legföljebb 27 ‐ ti. egyedül a 999 esetében ‐, ez viszont nem lehet N értéke, különben N-75 jegyösszege 9 lenne, holott 999-75 nem osztható 9-cel. Megállapításunkat visszafordítva n-75-re és N-75-re, ezek jegyeinek összege csak 3 vagy 6 lehet.
Megmutatjuk, más oldalról, hogy n-75 és N-75 jegyeinek összege nem lehet 3. Ugyanis egyrészt e számok így alakíthatók:
n-75=9m-75=9(m-9)+6,N-75=9(M-9)+6.
Vagyis 9-cel osztva 6-ot adnak maradékul. Másrészt általában bármely egész számot 9-cel osztva a (legkisebb nemnegatív) maradék ugyanannyi, mintha a szám (tízes számrendszerbeli alakja) számjegyeinek összegét osztjuk 9-cel. Valóban, legföljebb háromjegyű számokra szorítkozva az A, B, C jegyekkel írt szám így írható
100A+10B+C=9(11A+B)+(A+B+C),
tehát a (100A+10B+C):9 és (A+B+C):9 osztások maradéka egyező.
Ezek szerint n-75 és N-75 jegyeinek összegét 9-cel osztva a maradék 6, és ezt a fentiekkel egybevetve maga az összeg is 6. Ebből pedig adódik, hogy n és N számjegyeinek összege 18.
A legkisebb szóba jövő n érték, 189, mindjárt megfelel, mert így 189-75=114, jegyösszege 6.
Megfelel N-75 legnagyobb szóba jövő értéke, 600 is, mert így N=675, jegyeinek összege 18.