Kezdőlap


Feladat:	1235. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Francia Ferenc , Horváth Ervin
Füzet:	1969/október, 60 - 61. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: 1235. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a három autó rendre $K_{1}$ , $K_{2}$ , $K_{3}$ , az utóbbinak a sebessége $v$ (km/óra), menetideje a $K_{1}$ eléréséig $x$ (óra), végül az $A B$ távolság $s$ (km). Ekkor $K_{1}$ az utoléréséig $t_{1} + x$ órát futott, $K_{2}$ és $K_{3}$ teljes menetideje pedig $t_{1} + x + t_{2} + t_{3}$ , ill. $x + t_{2}$ . A megfelelő utakat a két-két kocsi adataival kifejezve és egyenlővé téve két egyenletet kapunk az $x$ , $v$ ismeretlenekre:

\begin{matrix} v_{1} (t_{1} + x) = v x, & (1) \\ v_{2} (t_{1} + x + t_{2} + t_{3}) = v (x + t_{2}) & (2) \end{matrix}

(1)-et

x + t_{2}

-vel, (2)-t

x

-szel szorozva a jobb oldalak egyenlők lesznek, így a bal oldalak is. Az

x

-re így adódó másodfokú egyenletet rendezve a következőt kapjuk:

\begin{matrix} (v_{1} - v_{2}) x^{2} + {(v_{1} - v_{2}) (t_{1} + t_{2}) - v_{2} t_{3}} x + v_{1} t_{1} t_{2} = 0. \end{matrix}

Ez ‐ a

v_{2} \neq v_{1}

feltevés miatt ‐ valódi másodfokú egyenlet, első együtthatója és

x

-től mentes tagja a feladat szövege szerint pozitív, ezért a várakozásnak megfelelő, azaz pozitív gyöke csak akkor lehet, ha

x

együtthatója negatív:

\begin{matrix} (v_{1} - v_{2}) (t_{1} + t_{2}) - v_{2} t_{3} < 0, \end{matrix}

amiből az életszerű megoldás szükséges ‐ de nem elegendő ‐ feltétele:

\begin{matrix} t_{3} > \frac{v_{1} - v_{2}}{v_{2}} (t_{1} + t_{2}) . \end{matrix}

(3)

A megoldás valós voltának szükséges és elegendő feltétele pedig az, hogy a diszkrimináns pozitív vagy 0 legyen:

\begin{matrix} {(v_{1} - v_{2})}^{2} {(t_{1} + t_{2})}^{2} - 2 (v_{1} - v_{2}) [2 v_{1} t_{1} t_{2} + v_{2} (t_{1} + t_{2}) t_{3}] + v_{2}^{2} t_{2}^{2} \geq 0. \end{matrix}

(4)

Ennek további elemzésétől ‐ bonyolultsága miatt ‐ eltekintünk, csak annyit jegyzünk meg, hogy ha (4) a

>

jellel teljesül, két pozitív megoldás van, ha pedig az

=

jellel, akkor egy (természetesen feltéve, hogy (3) teljesült).

x

ismeretében (1) alapján

\begin{matrix} v = \frac{v_{1} (t_{1} + x)}{x}, \end{matrix}

végül a távolság, (2) jobb oldalából

\begin{matrix} s = v (x + t_{2}) = \frac{v_{1} (x + t_{1}) (x + t_{2})}{x} . \end{matrix}

II. Mármost a numerikus adatokkal a (4) diszkrimináns értéke

0

és (3) teljesül, így egyetlen megoldás van:

\begin{matrix} x = 2 óra, v = 120 km/óra, s = 360 km. \end{matrix}

Horváth Ervin (Süttő, Ált. Isk., 7. o. t. )

Francia Ferenc (Veszprém, Lovassy L. Gimn., II. o. t. )