Kezdőlap


Feladat:	1234. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1969/október, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hatványösszeg, Számsorozatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: 1234. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $a^{n} + 1 / a^{n}$ -t $A_{n}$ -nel és $A_{1}$ -et rövidebben $A$ -val. (Nyilván fel kell tennünk, hogy $a \neq 0$ . Világos továbbá, hogy $A_{- n} = A_{n}$ , $A_{0} = 2$ .)

\begin{matrix} A^{2} = a^{2} + 2 + \frac{1}{a^{2}} = A_{2} + 2, így A_{2} = A^{2} - 2. \end{matrix}

Ide a helyébe

a^{2}

-et, ill.

a^{3}

-t írva adódik, hogy

\begin{matrix} A_{4} = A_{2}^{2} - 2, A_{6} = A_{3}^{2} - 2. \end{matrix}

Ezekből látható, hogy

A

-val együtt

A_{2}

is és így

A_{4}

is egész, továbbá

A_{6}

egész, ha

A_{3}

az. Viszont az

\begin{matrix} A^{3} = a^{3} + 3 a + 3 \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{3}} = A_{3} + 3 A \end{matrix}

összefüggésből

\begin{matrix} A_{3} = A^{3} - 3 A \end{matrix}

egész, ha

A

egész. Végül

A_{5}

-re és

A_{7}

-re pl. az

\begin{matrix} A_{3} \cdot A_{2} = a^{5} + a + \frac{1}{a} + \frac{1}{a^{5}} = A_{5} + A, azaz \\ A_{5} = A_{3} \cdot A_{2} - A, és \\ A_{6} \cdot A = a^{7} + a^{5} + \frac{1}{a^{5}} + \frac{1}{a^{7}} = A_{7} + A_{5}, azaz \\ A_{7} = A_{6} \cdot A - A_{5} \end{matrix}

összefüggésből látható, hogy ezek is egészek.

Megjegyzés. Többször használtuk az

\begin{matrix} A_{k} \cdot A_{l} = A_{k + l} + A_{k - l} = A_{k + l} + A_{| k - l |} \end{matrix}

azonosság speciális eseteit. Ezt pl.

l = 1

-re alkalmazva (mint a megoldásban

k = 6

esetére) adódik, hogy ha

A_{n}

egész a

k

-nál nem nagyobb természetes számokra, akkor

A_{k + 1}

is egész. Így

A_{n}

egész minden természetes számra és

A_{n} = A_{| n |}

A_{0} = 2

folytán minden egész

n

-re.