Kezdőlap


Feladat:	1233. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lefedések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 1233. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szimmetrikus megoldással próbálkozunk. Legyen a $2 R = 81, 9 cm$ átmérőjű $K$ kör középpontja $O$ . Helyezzük el az első $k_{1}$ lemezt úgy, hogy határvonala menjen át $O$ -n, középpontja legyen $L_{1}$ (ekkor $k_{1}$ egész hosszában lefedi $K$ -nak $L_{1}$ -en átmenő sugarát). Egy második, $k_{2}$ lemezt helyezzünk el úgy, hogy határvonala menjen át $O$ -n, valamint a $K$ kör $L_{1}$ -en átmenő átmérőjének még le nem fedett $A$ végpontján. Jelöljük $k_{2}$ középpontját $L_{2}$ -vel. Ha $K$ még le nem fedett részeinek kisebbike lefedhető egyetlen $k_{3}$ lemezzel, akkor a további két lemezt úgy helyezve el, hogy azok $k_{2}$ és $k_{3}$ tükörképei legyenek az $A O$ egyenesre, lefedtük $K$ -t az $5$ lemezzel.
Legyen $K$ azon ívének, amelyik a szóban forgó fedetlen részt határolja, $k_{1}$ -en és $k_{2}$ -n levő végpontja $M_{1}$ és $M_{2}$ , továbbá $k_{1}$ és $k_{2}$ $O$ -tól különböző metszéspontja $M_{3}$ .

Megmutatjuk, hogy egy harmadik,

k_{3}

lemez középpontját az

M_{1} M_{2}

szakasz

F

felezőpontjába helyezve, ez a lemez lefedi a körívek határolta

M_{1} M_{2} M_{3}

tartományt. Ehhez elég belátni, hogy

M_{1} M_{2} \leq 50 cm

. Ugyanis

K

kisebbik

M_{1} M_{2}

ívéről az

M_{1} M_{2}

szakasz tompaszögben látszik, tehát az

M_{1} M_{2}

szakasz lemetszette körszeletet tartalmazza

k_{3}

egyik félköre. Másrészt

M_{3}

M_{1} L_{1}

szakasz

O F

-en levő merőleges vetületén van, mert

O L_{1} M_{3}

egyenlő szárú háromszög, tehát

O M_{3}

-nak

N

felezőpontja egyben

L_{1}

merőleges vetülete

O F

-en és

F M_{1}

is merőleges

O F

-re. Így

\begin{matrix} F M_{3} < F N ≦ M_{1} L_{1} = 25, \end{matrix}

tehát

k_{3}

tartalmazza az

M_{1} M_{2} M_{3}

háromszöget, ha

M_{1} M_{2}

-t tartalmazza.

M_{1} M_{2}

M_{1} O M_{2}

egyenlő szárú háromszögből számítható, ennek

O

-nál levő szöge pedig abból, hogy az

M_{1} L_{1} O

M_{2} L_{2} O

és

A L_{2} O

egyenlő szárú háromszögek egybevágók, oldalaik ismertek és az alapjukon levő egy-egy szög egészíti ki az

M_{1} O M_{2}

szöget

180^{\circ}

-ra. Eszerint

\begin{matrix} M_{1} M_{2} = 2 R sin (\frac{1}{2} M_{1} O M_{2} ∢), \\ cos L_{1} O M_{1} ∢ = \frac{R}{2 \cdot L_{1} O} = 0, 819, \end{matrix}

és mivel a négyjegyű táblázat szerint

cos 35^{\circ} = 0, 8192

, ezért

\begin{matrix} L_{1} O M_{1} ∢ > 35^{\circ} . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} M_{1} O F ∢ = \frac{1}{2} (M_{1} O M_{2} ∢) = \frac{1}{2} [180^{\circ} - (L_{1} O M_{1} ∢ + M_{2} O L_{2} ∢ + L_{2} O A ∢)] = \\ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - 3 \cdot L_{1} O M_{1} ∢) < 37^{\circ} 30', \\ M_{1} M_{2} = 2 R sin M_{1} O F ∢ < 81, 9 \cdot 0, 6089 < 50, \end{matrix}

ugyanis táblázatunk szerint

sin 37^{\circ} 30' = 0, 6088

.
Ezzel beláttuk, hogy

K

lefedhető az adott

5

körlemezzel, és meg is adtunk egy lefedési előírást.

Megjegyzés: Az irodalomban a kérdésre vonatkozóan az alábbi pontosabb közléseket találtuk.¹
Ahhoz, hogy egy adott,

R

sugarú

K

kör lefedhető legyen

5

egybevágó körlemezzel, ezek sugarának legalább

0, 609 383 R

-nek kell lennie. Pontosan ekkora lemezekkel úgy lehetséges a lefedés, ha egyik lemez ‐ a fenti

k_{1}

‐ lefedi

K

-nak a középpontját és

0, 028 547 R

-rel (kb.

R / 35

-tel) túlnyúlik rajta, a második lemez ezen a legközelebbi ponton és a fenti

A

-n megy át, tovább pedig a fentiek szerint haladunk. (Eszerint vetélkedőnkön

82, 0502 cm

-re lehetett volna javítani Antal rekordját.)
Ha ‐ mint a fenti megoldásban ‐

k_{1}

, a középponton megy át, a lemezek sugarának legalább

0, 609 9579 R

-nek kell lennie (fent az arány

0, 610 5006

); ha pedig azt akarjuk, hogy lemezeink középpontjai szabályos ötszöget adjanak, a minimális sugár

(\sqrt[]{5} - 1) R / 2 = 0, 618 034 R .

¹W. W. Rouse Ball‐H. S. M. Coxeter: Mathematical Recreations and Essays, Macmillan, London, 1963, 97 ‐ 99. o.