A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyenek az adott oldalszakaszok , (ahol ) és . Ötletet ad a szögfelező osztásarányára vonatkozó, ismert tétel bizonyításához használt ábra (1. ábra).
1. ábra Mérjük rá -nak -n túli meghosszabbítására a szakaszt, így egyenlő szárú háromszög, , , Ez az adatokból megszerkeszthető, és belőle az ábra rekonstruálható: egyenlő szárú háromszög, trapéz, végül és metszéspontja . A szerkesztés helyességéhez meg kell mutatni, hogy az adódó szakasz hossza . Valóban
A szerkesztés végrehajtható, ha , amit -re megoldva Az ábrán , , , és a -on átmenő, -gal párhuzamos egyenesnek -gal való metszéspontja .
Balogh Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., I. o. t.) | II. megoldás. Az eddigi jelölések mellett jelöljük a -re -ben emelt merőlegesnek az , egyenesen levő pontját -vel, ill. -vel. Az 1169. gyakorlatban láttuk, hogy az és szakaszok harmonikus középarányosa: ami , alapján (pl. az idézett helyen leírt eljárással) megszerkeszthető. Így az egyenlő szárú háromszög is, és ebből a keresett háromszög is könnyen előállítható. Induljunk ki egy tetszőleges szögből: mérjük fel ennek a száraira a , szakaszokat (2. ábra).
2. ábra Jelöljük a szögfelező és metszéspontját -lal, a -ra -ban emelt merőlegesnek a szárakon levő pontjait -vel, -vel. Mérjük fel a szögfelezőre a szakaszt, és messe a -re -ben emelt merőlegest a középpontú, sugarú kör az , pontokban. Végül mérjük fel a , egyenesekre a , szakaszokat, a kapott háromszög a keresett háromszög. Szerkesztésünk helyességének bizonyításához csak azt kell megmutatnunk, hogy az oldalt a -hez tartozó szögfelező -ben metszi. Jelöljük ezt a metszéspontot -gyel, az -re -ben emelt merőlegesnek a szárakon levő pontjait -gyel, -gyel. Az 1169. gyakorlat szerint és ez szerkesztésünk szerint egyenlő -vel. , tehát rajta van -n, így rendre azonos -vel, -vel, amiből már következik, hogy és azonosak. K. M. L. 37 (1968) 70. o. Másképpen |