Kezdőlap


Feladat:	1231. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/március, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 1231. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyszög mindegyik középvonala az egyik szemben fekvő oldalpár felezőpontjait köti össze, és a két középvonal egy paralelogramma két átlóját adja, ezért a középvonalak felezik egymást. Ugyanis az $A B C D = N$ négyszög $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ oldalának felezőpontját rendre $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ , $D_{1}$ betűvel jelölve $A_{1} B_{1}$ az $A C B$ háromszögnek, $C_{1} D_{1}$ az $A C D$ háromszögnek $A C$ -vel párhuzamos középvonala, és ezért $A_{1} B_{1} # C_{1} D_{1} = A C / 2$ .

Legyen az

A_{1} C_{1}

és

B_{1} D_{1}

középvonalak közös felezőpontja

K

, az

A C

és

B D

átló felezőpontja

E

, ill.

F

. Megmutatjuk, hogy esetünkben

E

azonos

K

-val, továbbá

F

-fel is, vagyis

N

átlói felezik egymást; ebből már következik a feladat állítása, hiszen

A

-t

E

-re tükrözve

C

-t,

B

-t

F

-re tükrözve pedig

D

-t kapjuk, tehát

E \equiv F

esetén a négyszög centrálszimmetrikus.
Az előbbihez hasonló meggondolással

E A_{1}

és

C_{1} F

B C A

, ill.

B C D

háromszög középvonala, s így

\begin{matrix} E A_{1} # \frac{C B}{2} # C_{1} F, \end{matrix}

tehát

E A_{1} F C_{1}

paralelogramma,

E

és

F

egymás tükörképei az

A_{1} C_{1}

átló

K

felezőpontjára nézve.
Tekintsük az

A_{1}

C_{1}

E

ponthármast. Ezekre

\begin{matrix} A_{1} E + E C_{1} \geq A_{1} C_{1}, \end{matrix}

és itt egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha

E

A_{1} C_{1}

szakaszon van. A bal oldalon álló szakaszokat az oldalakkal kifejezve

\begin{matrix} \frac{B C}{2} + \frac{A D}{2} \geq A_{1} C_{1}, \end{matrix}

(1)

Hasonlóan a

B_{1}

D_{1}

E

ponthármasból

\begin{matrix} B_{1} E + E D_{1} = \frac{A B}{2} + \frac{C D}{2} \geq B_{1} D_{1}, \end{matrix}

(2)

és itt egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha

E

B_{1} D_{1}

szakasz pontja.
Mármost (1)-et és (2)-t összeadva

\begin{matrix} \frac{A B + B C + C D + D A}{2} \geq A_{1} C_{1} + B_{1} D_{1}, \end{matrix}

a feltevés szerint viszont itt egyenlőség áll. Ez csak úgy lehet, hogy (1)-ben is, (2)-ben is egyenlőség áll, tehát

E

rajta van az

A_{1} C_{1}

szakaszon is,

B_{1} D_{1}

-en is, tehát azonos

K

-val, és ezért

F

-fel is. Ebből az előrebocsátottak szerint következik a feladat állítása.