Kezdőlap


Feladat:	1230. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/május, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 1230. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két szám különbségét és hányadosát ‐ ha a sorrend nincs kifejezetten kimondva ‐ úgy szoktuk érteni, hogy az elsőből vonjuk ki a másodikat, illetve az elsőt osztjuk a másodikkal. Ebben az értelemben a második számot $y$ -nal és a hányadost $q$ -val jelölve, az első szám $x = q y$ , és a követelmény

\begin{matrix} (x + y) + (x - y) + x y + \frac{x}{y} = (q + 1) y + (q - 1) y + q y^{2} + q = A, \end{matrix}

(1)

ahol

A = 800

, ill. a második kérdés esetében

A = 400

. Itt

q = \frac{x}{y}

-nak egész számnak kell lennie, mert a bal oldal többi száma és

A

is egész.
Egyenletünk így írható:

\begin{matrix} q (2 y + y^{2} + 1) = A, {(y + 1)}^{2} = \frac{A}{q}, \end{matrix}

eszerint ‐ mivel

y

és a bal oldal egész ‐,

q

A

-nak olyan osztója, mellyel osztva hányadosul négyzetszámot kapunk.
I. Mármost az első kérdésben prímtényezős felbontása alapján

\begin{matrix} 800 = 2^{5} \cdot 5^{2} = 2 \cdot {(2^{2} \cdot 5)}^{2}, \end{matrix}

tehát egy megoldás

q = 2.

Figyelembe kell vennünk azonban minden lehetőséget a zárójel valamelyik négyzet-osztójának

q

-hoz csatolására.

2^{2} \cdot 5 = 20

osztói 1, 2, 4, 5, 10 és 20, a

q

-nak így adódó lehetséges értékeit és a belőlük adódó megoldásokat a táblázat tartalmazza.

\begin{matrix} q & 2 & 2 \cdot 2^{2} & 2 \cdot 4^{2} & 2 \cdot 5^{2} & 2 \cdot 10^{2} & 2 \cdot 20^{2} \\ A / q & 400 & 100 & 25 & 16 & 4 & 1 \\ y+1 & \pm 20 & \pm 10 & \pm 5 & \pm 4 & \pm 2 & \pm 1 \\ y_{1} & 19 & 9 & 4 & 3 & 1 & 0 \\ x_{1} & 38 & 72 & 128 & 150 & 200 & 0 \\ y_{1} & - 21 & - 11 & - 6 & - 5 & - 3 & - 2 \\ x_{2} & - 42 & - 88 & - 192 & - 250 & - 600 & - 1600 \end{matrix}

A 12 értékpárból egyedül az utolsó oszlopbeli

y = 0, x = 0

nem fogadható el, mert így a hányados nincs értelmezve. Eszerint

A = 800

esetében a kérdéses számpárra 11 megoldást kaptunk.
II. Hasonlóan kapjuk a megoldásokat

A = 400 = {(2^{2} \cdot 5)}^{2}

esetében; a táblázat

{(y + 1)}^{2}

és

y + 1

sora ugyanaz lenne, mint a fentiben, ezért csak az

y, x

értékpárokat soroljuk fel:

\begin{matrix} q & 1 & 2^{2} & 4^{2} & 5^{2} & 10^{2} & 20^{2} \\ y_{1} & 19 & 9 & 4 & 3 & 1 & ‐ \\ x_{1} & 19 & 36 & 64 & 75 & 100 & ‐ \\ y_{1} & - 21 & - 11 & - 6 & - 5 & - 3 & - 2 \\ x_{2} & - 21 & - 44 & - 96 & - 125 & - 300 & - 800 \end{matrix}

Itt is 11 megoldás van.