Kezdőlap


Feladat:	1229. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/március, 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 1229. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Feltesszük, hogy az (1) alatti számok ‐ jelöljük őket $E$ -vel és $M$ -mel ‐ léteznek, tehát

\begin{matrix} a b \neq 1, b c \neq 1. \end{matrix}

Ekkor a követelmény a keresett

H

harmadik számra:

\begin{matrix} E + M + H = E M H . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} H = \frac{E + M}{E M - 1}, \end{matrix}

(2)

ill. behelyettesítéssel

\begin{matrix} H = \frac{\frac{a + b}{1 - a b} + \frac{b + c}{b c - 1}}{\frac{(a + b) (b + c)}{(1 - a b) (b c - 1)} - 1} = \frac{(a + b) (b c - 1) + (b + c) (1 - a b)}{(a + b) (b + c) - (1 - a b) (b c - 1)} = \frac{c - a + b^{2} (c - a)}{1 + a c + b^{2} + a b^{2} c} = \frac{(c - a) (1 + b^{2})}{(1 + a c) (1 + b^{2})}, \end{matrix}

amiből egyszerűsítéssel

\begin{matrix} H = \frac{c - a}{1 + a c}, \end{matrix}

(3)

hiszen

1 + b^{2} \geq 1

, tehát

0

-tól különböző szám. Így

H

létezik és megfelel a követelménynek, hacsak

a c \neq - 1

.
b)

E

és

H

nevezőjét egyaránt úgy kapjuk, hogy

1

-ből kivonjuk a számláló két tagjának szorzatát, és ugyanez áll a második tagra is az

\begin{matrix} M = \frac{(- b) + (- c)}{1 - (- b) (- c)} \end{matrix}

alakítás szerint. Mondhatjuk: számaink rendre egyenlők az

x

y

változók

\begin{matrix} \frac{x + y}{1 - x y} \end{matrix}

függvényének az

\begin{matrix} x = a, y = b; x = - b, y = - c; x = c, y = - a \end{matrix}

esetben felvett értékével.
(2) szerint

H

ugyanennek a függvénynek az

x = - E

y = - M

helyen felvett értékével egyenlő.