Kezdőlap


Feladat:	1228. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1969/május, 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 1228. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Négy egymás utáni szám közt vagy van 5-tel osztható, vagy a négy szám az 5 két egymás utáni többszöröse közti négy szám. Az utóbbi esetben szorzatuk így írható:

\begin{matrix} P = (5 A + 1) (5 A + 2) (5 A + 3) (5 A + 4), \end{matrix}

ahol

A

nemnegatív egész szám. A két szélső és a két belső tényezőt szorozva össze:

\begin{matrix} P = (25 A^{2} + 25 A + 4) (25 A^{2} + 25 A + 6) = {[25 A (A + 1) + 5]}^{2} - 1. \end{matrix}

Itt

A (A + 1)

két szomszédos egész szorzata, tehát páros; ezt

2 B

-vel jelölve

P

így alakítható tovább:

\begin{matrix} P = 2500 B^{2} + 500 B + 24 = 2000 B + 500 B (B + 1) + 24. \end{matrix}

Mivel

B (B + 1)

ismét páros, így ez egy 1000

C + 24

alakú szám, ahol

C

egész, tehát a 10-alapú számrendszerben felírva utolsó három számjegye 024. (

A = 0

esetén

P = 24

.)
Ha a négy egymás utáni szám közt van 5-tel osztható, akkor van köztük két egymás utáni páros szám is és ezek közül az egyik 4-gyel is osztható. A szorzat tehát osztható 5-tel és osztható 8-cal. Mivel ez a két szám relatív prím egymáshoz, így a szorzat

5 \cdot 8 = 40 = 4 \cdot 10

-zel is osztható, tehát 0-ra végződik, és ha a 0-t elhagyjuk a végéről, azaz osztjuk 10-zel, 4-gyel osztható szám marad vissza. Eszerint a szorzatnak a végétől számított harmadik és második jegyét egybeolvasva 4-gyel osztható kétjegyű számot kapunk. (Ennek első jegye lehet 0 is.)