Kezdőlap


Feladat:	1227. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blaskó Imre , Kiss Mária , Lengyel János
Füzet:	1969/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: 1227. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a felhasznált merőleges másik metszéspontja $k_{1}$ -gyel $D'$ , $k_{2}$ -vel $E'$ . Ekkor $D$ és $D'$ , valamint $E$ és $E'$ egymás tükörképei az $A B$ egyenesre, és az $E$ -ből húzott érintőre és szelőre fennáll (1. ábra):

\begin{matrix} {E F}^{2} = E D \cdot E D' = D E \cdot D E' . \end{matrix}

1. ábra

Messe a

B D

egyenes

k_{2}

-t másodszor

G

-ben, ekkor

B G = 2 B D

D G = D B

, mert

k_{2}

k_{1}

-nek a

B

középpontból kétszeresre nagyított képe, hiszen

B

közös pontjuk,

k_{1}

középpontja a

B A

félegyenesen van, és

k_{2}

és

k_{1}

sugarának aránya

2 : 1

B G

és

E E'

k_{2}

-ben szelők, egymást

D

-ben metszik, ezért tovább

\begin{matrix} {E F}^{2} = D E \cdot D E' = D B \cdot D G = {D B}^{2} . \end{matrix}

Így pedig

E F = D B

, és ezt kellett bizonyítanunk.

Blaskó Imre (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn., II. o. t.)
Kiss Mária (Makó, József A. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Legyen

k_{1}

középpontja

O

. A szerkesztések, valamint Thalész tétele alapján

E O F

E O C

E A C

D O C

A D C

és

A B D

derékszögű háromszögek, így Pitagorasz tétele alapján (2. ábra)

\begin{matrix} {E F}^{2} & = {E O}^{2} - {O F}^{2} = {E C}^{2} + {O C}^{2} - {O D}^{2} = {A E}^{2} - {A C}^{2} - ({O D}^{2} - {O C}^{2}) = \\ = {A B}^{2} - ({A C}^{2} + {D C}^{2}) = {A B}^{2} - {A D}^{2} = {B D}^{2}, \end{matrix}

és ebből

E F = B D

2. ábra

Lengyel János (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)