Kezdőlap


Feladat:	1226. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck J. , Bruckner Lívia , Cselley J. , Cserháti A. , Csetényi A. , Dombi G. , Engedi A. , Faragó Magdolna , Fazekas G. , Fischer Ágnes , Flóchius Z. , Fodor Éva , Frankl P. , Füredi Z. , Gál P. , Gáspár Gy. , Gerhardt T. , Gödöllei M. , Gönczi I. , Hadik Gy. , Hadik P. , Hermann T. , Hornung P. , Hübler A. , Jakab F. , Juhász Judit , Kabos S. , Kelen M. , Kiss Ipoly , Kiss Mária , Láz J. , Lengyel J. , Manigáti Cs. , Markó B. , Maróti Gy. , Mártonfy Gy. , Mezei I. , Miseta Rozália , Mónus F. , Mugits K. , Nacsa Rozália , Nagy Attila , Pál J. , Pándi Z. , Pavluska P. , Petravich G. , Pintér Vera , Prőhle T. , Rékasi J. , Sailer K. , Simon Júlia , Somorjai G. , Sváb J. , Szabados Gy. , Szabó György , Szamosújvári S. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Tatár Ágota , Turi A. , Várhegyi Éva , Viszkei Gy.
Füzet:	1969/november, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: 1226. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Be fogjuk látni, hogy a kapott $T_{1}$ , $T_{2}$ pont éppen a keresett $k_{1}$ , $k_{2}$ körnek $e$ -n levő érintési pontja. Eszerint egy lehetőség a szerkesztés befejezésére: $k_{i}$ -nek $(i = 1,2)$ $O_{i}$ középpontját az $A B$ szakasz $f$ felező merőlegeséből a $T_{i}$ -ben $e$ -re állított $n_{i}$ merőleges metszi ki.

Azt bizonyítjuk, hogy az

A

B

T_{1}

pontokon átmenő

k_{1}^{*}

kör érinti

e

-t, tehát azonos

k_{1}

-gyel. Messe az

A B

(azaz

C A

) egyenes a

D

körüli,

D A' (= D B)

sugarú

k_{0}

segédkört a (

B

-től különböző)

A_{0}

pontban.

A_{0}

A'

-nek a

C D = t

tengelyre vonatkozó tükörképe, mert a

C A'

C A

egyenesek egymás tükörképei

e

-re, ennélfogva a

C

-n átmenő,

e

-re merőleges

t

-re is,

t

pedig másrészt

k_{0}

-nak is szimmetriatengelye.

T_{1}

T_{2}

ugyancsak tükrös pontpár

t

-re. Így a két tükrözés és a

k_{0}

-beli kerületi szögek lapján

\begin{matrix} A T_{1} C ∢ = A T_{1} T_{2} ∢ = A' T_{1} T_{2} ∢ = A_{0} T_{2} T_{1} ∢ = A_{0} B T_{1} ∢ = A B T_{1} ∢, \end{matrix}

ami az

A T_{1}

íven levő kerületi szög, tehát

T_{1} C

valóban érinti

k_{1}^{*}

-ot. Ezt akartuk bizonyítani.
Amit

T_{1}

-re kaptunk,

T_{2}

-re is érvényes, hiszen az

1

2

indexeket tetszés szerint helyezhettük el

e

és

k_{0}

metszéspontjaiban.
Hasonlóan az

A

B

jelölések is felcserélhetők volnának. Ha

A'

helyett

B

-nek

e

-re vonatkozó

B'

képén át szerkesztenők a segédkört (természetesen

A B'

felező merőlegesével metszve

t

-t),

k_{0}

-nak

e

-re vonatkozó tükörképét kapnánk meg, és ez ugyanazokat a

T_{1}

T_{2}

pontokat metszi ki

e

-ből.
A szerkesztés a feltevés szerint mindig végrehajtható,

C

és

A'

, valamint

k_{0}

és

T_{1}

T_{2}

létrejönnek, mert

A'

és

B

k_{0}

-nak

e

két oldalán levő pontjai. Amennyiben pl.

A

rajta van

e

-n, akkor

C

és

A'

azonos vele,

k_{0}

azonnal a keresett kört adja, ekkor egyetlen megoldás van.

Megjegyzés. A szerkesztés érdekessége, hogy hasonlóság felhasználása nélkül ‐ más szóval kizárólag középiskolai I. osztályos ismeretek alapján ‐ jut célba.

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy az

A

-n átmenő és

e

-t

T_{1}

-ben érintő

k_{1}^{* *}

kör átmegy

B

-n is, tehát azonos

k_{1}

-gyel. Messe az

A B

egyenes

k_{1}^{* *}

-ot

B^{* *}

-ban.

k_{1}^{* *}

-nak a

C A

egyenes szelője,

C T_{1}

pedig érintője, ezért a szelő- és érintőszakaszok tétele szerint

\begin{matrix} C B^{* *} = \frac{C T_{1}^{2}}{C A} . \end{matrix}

Másrészt

A_{0} B

és

T_{1} T_{2}

k_{0}

-nak szelői, metszéspontjuk

C

, felezi

T_{1} T_{2}

-t, így

C A_{0} = C A

alapján

\begin{matrix} C B = \frac{C T_{1} \cdot C T_{2}}{C A_{0}} = \frac{C T_{1}^{2}}{C A}, \end{matrix}

tehát

C B^{* *} = C B

B^{* *}

azonos

B

-vel. Ezt akartuk bizonyítani.

Szabó György (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn., III. o. t.)