|
Feladat: |
1226. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Beck J. , Bruckner Lívia , Cselley J. , Cserháti A. , Csetényi A. , Dombi G. , Engedi A. , Faragó Magdolna , Fazekas G. , Fischer Ágnes , Flóchius Z. , Fodor Éva , Frankl P. , Füredi Z. , Gál P. , Gáspár Gy. , Gerhardt T. , Gödöllei M. , Gönczi I. , Hadik Gy. , Hadik P. , Hermann T. , Hornung P. , Hübler A. , Jakab F. , Juhász Judit , Kabos S. , Kelen M. , Kiss Ipoly , Kiss Mária , Láz J. , Lengyel J. , Manigáti Cs. , Markó B. , Maróti Gy. , Mártonfy Gy. , Mezei I. , Miseta Rozália , Mónus F. , Mugits K. , Nacsa Rozália , Nagy Attila , Pál J. , Pándi Z. , Pavluska P. , Petravich G. , Pintér Vera , Prőhle T. , Rékasi J. , Sailer K. , Simon Júlia , Somorjai G. , Sváb J. , Szabados Gy. , Szabó György , Szamosújvári S. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Tatár Ágota , Turi A. , Várhegyi Éva , Viszkei Gy. |
Füzet: |
1969/november,
139 - 140. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Körérintési szerkesztések, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/november: 1226. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Be fogjuk látni, hogy a kapott , pont éppen a keresett , körnek -n levő érintési pontja. Eszerint egy lehetőség a szerkesztés befejezésére: -nek középpontját az szakasz felező merőlegeséből a -ben -re állított merőleges metszi ki.
Azt bizonyítjuk, hogy az , , pontokon átmenő kör érinti -t, tehát azonos -gyel. Messe az (azaz ) egyenes a körüli, sugarú segédkört a (-től különböző) pontban. az -nek a tengelyre vonatkozó tükörképe, mert a , egyenesek egymás tükörképei -re, ennélfogva a -n átmenő, -re merőleges -re is, pedig másrészt -nak is szimmetriatengelye. , ugyancsak tükrös pontpár -re. Így a két tükrözés és a -beli kerületi szögek lapján | | ami az íven levő kerületi szög, tehát valóban érinti -ot. Ezt akartuk bizonyítani. Amit -re kaptunk, -re is érvényes, hiszen az , indexeket tetszés szerint helyezhettük el és metszéspontjaiban. Hasonlóan az , jelölések is felcserélhetők volnának. Ha helyett -nek -re vonatkozó képén át szerkesztenők a segédkört (természetesen felező merőlegesével metszve -t), -nak -re vonatkozó tükörképét kapnánk meg, és ez ugyanazokat a , pontokat metszi ki -ből. A szerkesztés a feltevés szerint mindig végrehajtható, és , valamint és , létrejönnek, mert és a -nak két oldalán levő pontjai. Amennyiben pl. rajta van -n, akkor és azonos vele, azonnal a keresett kört adja, ekkor egyetlen megoldás van. Megjegyzés. A szerkesztés érdekessége, hogy hasonlóság felhasználása nélkül ‐ más szóval kizárólag középiskolai I. osztályos ismeretek alapján ‐ jut célba. II. megoldás. Megmutatjuk, hogy az -n átmenő és -t -ben érintő kör átmegy -n is, tehát azonos -gyel. Messe az egyenes -ot -ban. -nak a egyenes szelője, pedig érintője, ezért a szelő- és érintőszakaszok tétele szerint Másrészt és a -nak szelői, metszéspontjuk , felezi -t, így alapján tehát , azonos -vel. Ezt akartuk bizonyítani.
Szabó György (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn., III. o. t.) |
|
|