Feladat: 1224. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Angyal J. ,  Balogh Z. ,  Bartholy Judit ,  Czédli G. ,  Fazekas I. ,  Felföldi J. ,  Fodor Éva ,  Frey Julianna ,  Gál P. ,  Gálfi V. ,  Gazdag P. ,  Győri E. ,  Győriványi G. ,  Horváth András ,  Karády Ilona ,  Komornik V. ,  Kovács Sándor ,  László R. ,  Lehőcz Ágnes ,  Lengyel J. ,  Mártonfi Gy. ,  Mohai B. ,  Monostori L. ,  Németh Zoltán ,  Raisz A. ,  Reviczky J. ,  Róna Julianna ,  Rudas T. ,  Sváb J. ,  Szendrei Ágnes ,  Szendrei Mária ,  Szepesi László ,  Toronyi Zsuzsa ,  Tóth Ágnes ,  Török Gyula ,  Wittmann I. 
Füzet: 1969/május, 214 - 215. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/november: 1224. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Mivel Jóska száma 7-es számjegyre végződött, azért az 1-gyel növelt 23-szorosának végén 2-es állt, hiszen a szorzat (és összeg) utolsó számjegyét egyedül a tényezők (ill. tagok) utolsó jegyei határozzák meg, és 7⋅3+1 utolsó jegye 2. Ugyanígy az összeg 11-szeresében is 2-os az utolsó jegy. Továbbmenve a 23-mal képezett szorzat 6-osra, az 1-gyel nagyobb szám 7-esre végződött, és ez visszaadódott az utolsó két szorzás után is, mert a 33⋅77 szorzat utolsó jegye 1-es.
Jelöljük az utoljára kapott szorzatból az utolsó 7-es elhagyásával kapott számot A-val, jegyeinek számát k-val, ekkor a szám 10 A+7, a 7-es előre írásával kapott szám 7⋅10k+A, hiszen az új számból A-t levonva a 7-es után k darab 0 áll. Ezért Jóska utolsó közlése alapján

7⋅10k+A7=10A+7,A=7⋅10k-4969.
Eszerint A egy olyan osztás hányadosa, melyben az osztó 69, a maradék 49, az osztandó pedig egy 7-esből és utána k (ismeretlen) számú 0-ból áll. Fordítva: ha a 700...:69 osztásban olyan helyen állunk meg, ahol a maradék 49, akkor a hányados alkalmas lesz az A szám céljára.
Megállva az első ilyen helyen, az alábbiakat kapjuk A-ra, majd 10A+7-re, a 77-tel való szorzás előtti szorzandóra, és így tovább, a Jóska által végzett egymás utáni műveletek eredményeire, fordított sorrendben:
 
A101449275362318840579,10A+7=B=1014492753623188405797,B:77=C=13175230566534914361,C:33=D=399249411107118617,(D-1):23=E=17358670048135592,E:11=F=1578060913466872,(F-1):23=68611344063777.  
 


Az utolsó lehetett Jóska kiindulási száma.
Megjegyezzük, hogy ha a visszafelé végzett számítássorozat nem vezetett volna minden lépésben egész számra, akkor A helyén próbálkozhattunk volna azzal a számmal is, amely a 700...:69 osztás hányadosa akkor, amikor másodszor, 3-adszor, ...,k-adszor ... lép fel maradékként 49, vagyis az A7A¯ (43 jegyű), A7A7A¯ (65 jegyű), ... számmal, hiszen az A szám utolsó (9-es) jegyének leírásakor maradt 49-es mellé 0-t levéve a hányados új egye 7, a maradék is 7, és innen kezdve ismétlődnek A jegyei.
b) Pista megszerzett adata akkor lett volna nélkülözhető, ha Jóska száma végére bármely J jegyet próbálva, mindig a 7-est kaptuk volna előreírandó jegyként és osztóként. Ez azonban nem áll, mert az egymás után képezett számok utolsó jegye rendre 3J,3J+1 (kétszer egymás után), 9J+3,9J+4 és az utolsó két szorzás után ismét 9J+4, ill. ennek a számnak utolsó jegye. Ez 4-J, ill. 14-J alakban is írható, eszerint minden egyes J-hez más lenne az előreteendő számjegy és osztó. Csak a J=4 és J=3 esettel nem kellene próbát tennünk, az előbbi 0 osztóra vezetne, az utóbbi pedig tetszés szerinti számú 1-essel írt, vagyis határozatlan számra.
Nem látható be, hogy enélkül milyen hosszú számolás után bukkantunk volna rá a fenti megoldásra, vagy egy esetleges más megoldásra.
 

Megjegyzés. Szorzás útján is megkaphatjuk a A számot. Az utolsó 3 lépés sorrendjét megfordítva: A olyan szám, amelyet a következő 3 változtatás után visszakapunk: I. a végére írunk egy 7-est, II. az új számot szorozzuk 7-tel, III. a szorzat elejéről elhagyunk egy 7-est. Így, I. és II. alapján a szorzat utolsó jegye 7⋅7=49-nek a 9-ese, ez A egyese, egyben a szorzandó tízes helyi értékű jegye; ezért a szorzat tízes jegye 7⋅9+4=67-ből a 7-es, ez a szorzandó százasa; ezért a szorzat százasa 7⋅7+6=55-ből az 5-ös, ezrese a 7⋅5+5=40-ből a 0, és így tovább.
Olyan helyen állhatunk meg ebben az eljárásban, ahol 7-et írtunk le, és nincs tízes átvitel, ekkor A-t ‐ III. szerint ‐ ennek a 7-esnek az elhagyásával kapjuk. Fönt mindjárt az első lehetséges helyen megálltunk, a szorzat 22-ik jegye lett a maradék nélküli 7-es. Továbbmenve a 44., 66., ...,22k,... sorszámú jegyek ‐ mindig a 7-es ‐ leírása lenne alkalmas hely a megállásra.
2. További, mélyebb megjegyzés olvasható ezen szám 193. oldalán.