| Feladat: | 1223. matematika gyakorlat | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: könnyű |
| Füzet: | 1969/január, 28. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Maradékos osztás, Gyakorlat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/november: 1223. matematika gyakorlat | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 30-nál kisebb prímekre az állítás nyilvánvaló. Egy 30-nál nagyobb prím osztási maradékát úgy kapjuk, hogy -ből levonjuk 30 egy alkalmas többszörösét. Mivel 30 osztható 2-vel, 3-mal és 5-tel, viszont egyikükkel sem, így a maradék sem lehet ezekkel osztható. (Ugyanannyi maradékot ad 2-vel, 3-mal, ill. 5-tel osztva, mint .) A további lehetséges maradékok 30-cal való osztásnál Ezek az 1 kivételével mind prímek. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk. A 30-nál kisebb számok közt keresve a 2-vel, 3-mal, vagy 4-gyel való osztás lehetséges, 1-nél nagyobb maradékai prímek, így ezeket az osztókat téve 30 helyébe is teljesül a feladat állítása. Ugyancsak teljesül a 6, 8, 12, 18, 24 osztókra is, mert ezeknek a hozzájuk relatív prím és 1-nél nagyobb maradékai is prímek (5, ill. 3, 5 és 7, ill. az utolsó háromhoz az 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 közül a náluk kisebbek). A többi 30-nál kisebb számhoz könnyű olyan prímet találni, amit elosztva vele összetett maradékot kapunk. A 30-nál nagyobb számok közül a minél több különböző prímszámmal oszthatók felelhetnének meg, ezek közt azonban nem bukkanunk újabb megfelelőre pl. 36-ra , 45-re , 48-ra . Ha a következő, egymás utáni prímek szorzatából álló számmal, a 210-zel próbálkozunk, ez sem felel meg, pl. nem prím, bár 331 az. |