Kezdőlap


Feladat:	1222. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/március, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	"a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Szorzat, hatvány számjegyei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: 1222. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Általában egy $B$ alapú (bázisú) számrendszerben felírt $N$ természetes szám négyzete ugyanarra a számjegyre végződik, mint az utolsó számjegyének a négyzete. Legyen ugyanis $N$ utolsó jegye $V$ , ami azt jelenti, hogy $N = B n + V$ , ahol $n$ valamilyen nemnegatív egész szám, és $0 \leq V < B$ , akkor

\begin{matrix} N^{2} = B (B n^{2} + 2 n V) + V^{2} \end{matrix}

és ebből következik az állításunk.
Az, hogy a

V

számjegy négyzetének utolsó jegye

V

, úgy is mondható, hogy

V^{2} - V = V (V - 1)

osztható

B

-vel.
I. Ez

B = 50

és

V = 25

, ill.

26

esetén teljesül, ugyanis

\begin{matrix} 25 \cdot 24 = 12 \cdot 50 és 26 \cdot 25 = 13 \cdot 50. \end{matrix}

II. A feladat kérdésére minden olyan

B

alapszám megfelelő, amelyhez van olyan

V

számjegy, hogy

V

(V - 1)

osztható legyen

B

-vel ‐ és természetesen

V < B

. Fordítsuk meg a kérdést: egy

V

számjegy megfelel minden olyan

B

alapszám esetén, amely

V (V - 1)

-nek

V

-nél nagyobb osztója. Ilyenek leolvashatók az alábbi táblázatból:

\begin{matrix} V & V (V - 1) & B \\ 2 & 2 & ‐ \\ 3 & 6 & 6 \\ 4 & 12 & 12, & 6 \\ 5 & 20 & 20, & 10 \\ 6 & 30 & 30, & 15, & 10 \\ 7 & 42 & 42, & 21, & 14 \\ 8 & 56 & 56, & 28, & 14 \\ 9 & 72 & 72, & 36, & 24, & 18, & 12 \end{matrix}

Látható, hogy minden

B = V (V - 1)

alakú alapszámhoz megfelel pl. a

V

utolsó jegy (belátható, hogy

V' = B - V + 1

is), ha

V \geq 3

; ugyancsak minden

B = V (V - 1) / 2

alakú alapszámhoz is pl. a

V

, ha

V \geq 4

. Ha

V > 5

és nem

3 k - 1

alakú, akkor a

B = V (V - 1) / 3

alapszámhoz megfelel a

V

utolsó jegy stb.
A táblázatból leolvasható

B = 6

V = 3

és

4

;

B = 10

V = 5

és

6

;

B = 14

V = 7

és

8

példák így általánosíthatók: A

B = 4 k + 2

(

k

természetes szám) alapszámhoz megfelelnek a

V = 2 k + 1

V' = 2 k + 2

számjegyek. Valóban, így

\begin{matrix} V (V - 1) = (2 k + 1) \cdot 2 k = k (4 k + 2) és \\ V' (V' - 1) = (2 k + 2) (2 k + 1) = (k + 1) (4 k + 2) . \end{matrix}

Megjegyezzük még, hogy

B = 50

esetén a mondott

25

és

26

(továbbá a kizárt

0

és

1

) végződésen kívül más számjegy-végződésnek nincs meg a szóban forgó tulajdonsága, hiszen

50 = 2 \cdot 5^{2}

, másrészt

V

és

V - 1

relatív prímek egymáshoz, és így csak egyikük osztható

5

-tel, ennek viszont

5^{2}

-nel is oszthatónak kell lennie.

Megjegyzés. Előre felhívjuk az érdeklődők figyelmét az ugyanezen tárgykörbe vágó P.

9

. probléma megoldására.