Feladat: 1221. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Benkő L. ,  Fejes G. ,  Frankl P. ,  Gál P. ,  Gáspár Gy. ,  Hegyi F. ,  Horváth László ,  Horváth Márta ,  Kertész Á. ,  Kiss Ipoly ,  Láng I. ,  Lengyel J. ,  Orosz Éva ,  Pach J. ,  Sváb J. ,  Szendrei Ágnes ,  Temesvári T. ,  Turán Gy. 
Füzet: 1970/március, 108 - 109. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/október: 1221. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tetszés szerinti egyenlő szárú ABC háromszögből (AB=AC) kiindulva származtassuk a D pontot a feladat előírása szerint, E pedig jelölje az AC egyenes metszéspontját a BD egyenesnek az ABC szög szögfelező egyenesére, f-re vett tükörképével, amennyiben létrejön a metszéspont.

 

 
1.a) ‐ 1.c) ábra
 

Megmutatjuk, hogy ekkor az EAB háromszög egyenlő szárú. Ez tartalmazza a feladat állítását.
A D pont a CA félegyenesen van, mivel az ACB szög hegyesszög, és szerkesztés szerint a BCD háromszög egyenlő szárú, továbbá C-nél levő szöge közös az ABC háromszögével, így AB-t ugyanakkora és ugyanolyan irányú forgás viszi át AC-be, mint BC-t BD-be. Másrészt a BC egyenes tükörképe f-re a BA egyenes, BD-é pedig a szerkesztés szerint a BE egyenes. BA-t tehát egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú forgással vihetjük át BE-be, mint BC-t BD-be s ugyancsak mint AB-t AC-be. Ez azonban azt jelenti, hogy az AC és BE egyenesek az AB-szakasszal, annak ugyanazon oldalán egyenlő szöget zárnak be, s így az ABE háromszög egyenlő szárú.
Ezzel a feladat állítását ‐ sőt annál többet is ‐ bebizonyítottuk, kérdés azonban, mond-e valamit a feladat állítása, van-e olyan háromszög, amelyben E kimetszhető az AC egyenesből a D körüli BC(=BD) sugarú körrel is. Ez esetben a BDE háromszögben BD=DE, ami akkor és csak akkor teljesül, ha
DBE=DEB.(1)
Bevezetve a BAC=α jelölést az ábra a) része esetében BED=2α, így az (1) feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha
ABC=2α+EBD=4α=ACB,
s így
9α=180,α=20.
 

 
1.d) ‐ 1.e) ábra
 

Hasonlóan elvégezve a számítást az ábra többi részénél a b) és c) esetben α=60 adódik (ekkor D egybeesik A-val, E pedig C-vel), a d) esetben α=100, az e) esetben pedig α=140. Így 4 olyan háromszög-alak van, amelynél a feladat feltételei teljesülnek.