Kezdőlap


Feladat:	1219. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kunszenti Ágnes
Füzet:	1969/október, 58 - 59. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: 1219. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. $B$ -nek egy az előírt $b$ egyenesen felvett, tetszés szerinti $B_{1}$ helyzetéhez $D$ megfelelő helyzetét, $D_{1}$ -et úgy kapjuk,hogy a $C$ -ből kiinduló, $B_{1} A$ -val párhuzamos félegyenesre felmérjük a $λ \cdot B_{1} A$ szakaszt, ahol $λ$ a $C D : A B$ arány előírt értéke. Legyen ekkor a $B_{1} D_{1}$ átló metszéspontja $A C$ -vel az $M_{1}$ pont.
$M_{1} A B_{1}$ és $M_{1} C D_{1}$ hasonló háromszögek; és csúcsaik a felsorolás rendjében felelnek meg egymásnak, mert megfelelő szögeik csúcs-, ill. váltószögek,így

\begin{matrix} \frac{M_{1} C}{M_{1} A} = \frac{M_{1} D_{1}}{M_{1} B_{1}} = \frac{C D_{1}}{A B_{1}} = λ, \\ M_{1} C = λ \cdot M_{1} A, A C = A M_{1} + M_{1} C = (1 + λ) M_{1} A, \\ M_{1} A = \frac{A C}{1 + λ}; M_{1} D_{1} = λ \cdot M_{1} B_{1} . \end{matrix}

Ezek szerint egyrészt

M_{1}

helyzete a rögzített

A C

szakaszon csak

λ

értékétől függ,

B

helyzetétől nem, tehát

M_{1}

állandó pont; másrészt

D_{1}

helyzetét úgy is meghatározhatjuk, hogy vesszük

B_{1}

-nek

B'_{1}

képét az

M_{1}

középpontú,

λ

arányú középpontos hasonlóságban, majd

B'_{1}

-t tükrözzük

M_{1}

-re.

Így pedig, ha

B

b

-n mozog,

B'

egy a

b

-vel párhuzamos

b'

egyenesen mozog,

D

pedig

b'

-nek

M_{1}

-re való

d

tükörképén, ez tehát szintén a

b

-vel párhuzamos egyenes. ‐ Megfordítva,

D_{1}

-ből is megkaphatjuk

B_{1}

-et,

D_{1}

-nek

M_{1}

-re való

B'_{1}

tükörképét

M_{1}

-ből

1 / λ

arányban nagyítjuk. Eszerint

d

-nek minden

D

pontjához tartozik

b

-nek egy

B

pontja, vagyis

D

befutja

d

-nek minden pontját.
Ha

b

metszi az

A C

egyenest egy

B^{*}

pontban, akkor

d

is metszi, és a

B^{*}

-nak megfelelő

D^{*}

A C

-n van,

B

ezen helyzetében a trapéz elfajul egyenesszakasszá.
II. Derékszögű a trapéz, ha vagy

A

és

D

, vagy

B

és

C

csúcsában derékszög van. Ekkor az

A C

átló

D

-ből,

B

-ből derékszögben látszik, tehát

D

, ill

B

rajta van az

A C

mint átmérő fölötti

k

Thalész-körön. Eszerint

B

(és

D

) megfelelő helyzetét

k

metszi ki

b

-ből (ill.

d

-ből),

D

(ill.

B

) megfelelő helyzetét pedig a

B M_{1}

(ill.

D M_{1}

) egyenes.
A metszéspontok (esetleg érintési pont) száma szerint

4, 3, 2, 1

, vagy

0

az adódó derékszögű trapézok száma (az ábrán 2). (

λ = 1

esetén trapézaink paralelogrammává specializálódnak, ekkor

k

-nak

b

-vel, ill.

d

-vel közös pontjai egymás megfelelői

M_{1}

nézve.)

Kunszenti Ágnes (Dunaújváros, Münnich F. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A fentiekből az is leolvasható, hogy

B

-nek tetszés szerinti

p

pályán való mozgása esetében

D

pályája

p

-nek képe az

M_{1}

középpontú,

- λ

arányú hasonlósági transzformációban.