Kezdőlap


Feladat:	1218. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh Z. , Boros E. , Fodor P. , Frey Julianna , Gál Péter , Gönczi I. , Horváth András , Kálmán M. , Mártonfi Gy. , Pataki B. , Reichenbach P. , Reviczky Gy. , Rudas T. , Sailer Kornél , Simon Júlia , Simonkay S. , Somorjai G. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Turi A. , Varga István , Zaymus V.
Füzet:	1969/május, 211 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: 1218. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Erzsi megállapítása helyes, bármely $M$ osztó esetében (itt $M = 12$ , ill. 14) elég az $M$ -nél kisebb, nemnegatív egész számokra szorítkozni a keresésben, mert ha az egyik tényező $a = k M + r$ , ahol $k$ egész szám és $0 \leq r < M$ , továbbá a másik tényező $b$ , akkor szorzatuk $a b = (k b) \cdot M + r b$ , és ez $M$ -mel osztva ugyanazt a maradékot adja, mint $r b$ , hiszen.

\begin{matrix} \frac{a b}{M} = k b + \frac{r b}{M}, \end{matrix}

ahol

k b

egész szám. (Ez a meggondolás természetesen

b

-re is érvényes.)
Nem szerepelhet azonban a kiválasztott számok között a 0, mert ezt a többi 4 szám bármelyikével szorozva ugyanazt az osztandót és maradékot kapjuk, ti. 0-t. Ugyanezért az 5 számnak ‐ a talált korlátok között ‐ egymástól is különbözőnek kell lennie.
5 különböző szám ‐ mondjuk

a, b, c, d

és

e

‐ közül 10 kéttényezős szorzat képezhető:

\begin{matrix} a b, a c, a d, a e; b c, b d, b e; c d, c e; d e . \end{matrix}

(1)

A további meggondolások azon az észrevételen alapulnak, hogy ha a

A, M, K, R

egész számokra

\begin{matrix} A = M K + R \end{matrix}

és

d

M

egy osztója, akkor vagy

A

is,

R

is osztható

d

-vel, vagy egyik sem. Valóban, egyenlőségünkből

\begin{matrix} A - R = M K, \end{matrix}

ami osztható

d

-vel, és ez nem következhet be úgy, ha a különbség egyik tagja osztható

d

-vel, a másik nem.

I. Megmutatjuk, hogy

M = 12

esetén nem található megfelelő számötös. A tíz kettősszorzat osztási maradékának ugyanis a

\begin{matrix} 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 \end{matrix}

(2)

számok közül kell kikerülnie. Ezekből bárhogy választunk ki tízet, kerül közéjük páros is és páratlan is. Kéttényezős szorzataink közül megjegyzésünk szerint csak a párosak adnak páros maradékot, mivel 12 páros; sőt, mivel 12 osztható 4-gyel is, ha egy szorzat 4-gyel osztható, akkor a maradéka is, és csak akkor. A szorzatok közt akkor van páros, ha az öt kiválasztott szám közt van. Ha ez osztható 4-gyel is, akkor a másik négy számmal való szorzatainak maradéka is; ámde a (2) számok közül csak három osztható 4-gyel. Így az öt szám közt nem lehet 4-gyel osztható.
Ha viszont az öt szám közt csak 4-gyel nem osztható páros szám szerepel, az ilyenek páratlan többszöröse is ilyen:

\begin{matrix} (4 k + 2) (2 l + 1) = 4 (2 k l + k + l) + 2, \end{matrix}

tehát ha a többi négy szám páratlan, akkor négy szorzat maradéka 4-gyel nem osztható páros szám, holott az (1) számok között csak három ilyen van.
Ha pedig az öt szám közt legalább két páros van, akkor ezeknek a többi három számmal és egymással való szorzata, tehát legalább 7 szorzat páros, és így a maradékuk is, az (1) számok közt viszont csak hat páros van. Így semmilyen öt számból kiindulva nem lehet az összes kéttényezős szorzatok maradéka (12-vel osztva) különböző.

II.

M = 14

esetén a lehetséges osztási maradékok

\begin{matrix} 0^{*}, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7^{*}, 8, 9, 10, 11, 12, 13. \end{matrix}

(3)

A fentiekhez hasonlóan kapjuk, hogy számötösünkben nem léphet fel 0, de a 7 sem, mert ennek a négy többivel való szorzata is osztható volna 7-tel, tehát ‐ mivel 14 osztható 7-tel ‐ megjegyzésünk szerint ezek maradéka is, holott a (3) számok közül csak kettő osztható 7-tel. Megjegyzésünk szerint ekkor megfordítva is, sem 0, sem 7 nem szerepelhet maradékként, így (3)-ból csak 6 páros és 6 páratlan maradék léphet fel. Ebből a fentiekhez hasonlóan adódik, hogy az öt szám közül egy, mondjuk a páros, a többi négy szám páratlan.
Itt csak a páratlanok összeválogatása igényel meggondolást. Ha ugyanis

b, c, d

e

olyan, hogy (1) utolsó 6 szorzata különböző maradékot ad ‐ mint láttuk, csupa páratlant ‐, akkor

a

-ként 2, 4, 6, 8, 10 és 12 mindegyike megfelel, mert (1) első négy szorzata és maradékuk páros, tehát amazoktól különböző. Továbbá kettőjükből ‐ pl.

a b

-ből és

a c

-ből ‐ nem adódhat ugyanaz a maradék, különben

a c - a b = a (c - b)

osztható volna 14-gyel, tehát 7-tel is, ami nem teljesül, mert

c - b

értéke ugyancsak a 2, 4, 6, 8, 10, 12 számok valamelyike.
A

b, c, d, e

számok összeválogatása céljára felírjuk táblázatban a szóba jövő páratlan számokból alakuló szorzatok 14-es maradékát.

\begin{matrix} a kisebbik & a nagyobbik tényező \\ tényező & 3 & 5 & 9 & 11 & 13 \\ 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 13 \\ 3 & 1 & 13 & 5 & 11 \\ 5 & 3 & 13 & 9 \\ 9 & 1 & 5 \\ 11 & 3 \end{matrix}

Véve pl.

b = 1, c = 3, d = 5

-öt, az ezekből képezett páros szorzatok maradékai a táblázat szerint 3, 5 és 1. Mivel a 3-as sor folytatásában van még 5-ös és az 5-ös sorában van 3-as, a 11, ill. 9 oszlopában, azért

e

-ként nem használható 11 és 9, de lehet

e = 13

.
Ezek szerint Erzsi második feladata követélményeinek megfelel pl. az

\begin{matrix} a = 6, b = 1, c = 3, d = 5, e = 13 \end{matrix}

számötös, a szorzatokból adódó maradékok növekvő rendben:

\begin{matrix} 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 13. \end{matrix}

Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., III. o. t.)
Gál Péter (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy ha a 14-es osztó esetén

b, c, d, e

egy megfelelő páratlan számnégyes, akkor

14 - b, 14 - c, 14 - d, 14 - e

is megfelelő.
A további megfelelő páratlan négyesek:

\begin{matrix} 1, 3, 9, 11; 1, 5, 9, 11; 1, 9, 11, 13; 3, 5, 9, 13; 3, 5, 11, 13, \end{matrix}

számuk a fentivel együtt 6, így a számötös megválasztási lehetőségeinek összes száma

6 \cdot 6 = 36

Sailer Kornél, Gál Péter