A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Az első öt szorzat (beleértve magát a -at is), az egyjegyűeket eléjeírásával kétjegyűnek írva: az utolsóban utolsó jegyként megismétlődött a -as. Mivel szorzat utolsó jegyét a tényezők utolsó jegyei szorzatának utolsó jegye adja, azért a további szorzásoknál utolsó jegyként most már periodikusan a , , , fog ismétlődni, ebben a sorrendben. Az utolsó előtti számjegy, eddig mindenütt páros. -mal való szorzásnál az utolsó előtti jegyet úgy kapjuk, hogy a szorzandó utolsó előtti jegyének -szorosához hozzáadjuk az utolsó jegy -szorosából adódó áthozatot, és az összeg utolsó jegyét vesszük. Mivel a , , és jegy -szorosából rendre , , , áthozat adódik, azért így, ha egy szorzat utolsó előtti jegye páros, akkor a -szorosában is. Ezzel beláttuk, hogy a -mal szorzást folytatva mindig igaz lesz, hogy a tízes helyértékű jegy páros. II. Az , , és számok szorzótáblájában az utolsó jegy újra ezek egyike, az utolsó előtti jegy pedig mindig páros. Így ezek bármelyikét választva helyett, a fenti meggondoláshoz teljesen hasonlóan látható, hogy az ismételt szorzásnál a tízesek jegye mindig páros lesz. Igaz az állítás az -re is, mert az első szorzástól kezdve minden szorzat -re végződik, és nyilván igaz a -ra is. A -vel vagy -gyel végezve ismételt szorzást, fellép a , a -tal indulva a , a -cal indulva az , így ezek nem felelnek meg. Végül többjegyű szorzókat tekintve azok tízes helyértékű jegye páros kell hogy legyen, és így a szám az utolsó jegyének és egy -szal osztható számnak az összege. De ha két számot -nak egy-egy többszörösével megváltoztatunk, akkor szorzatuk is valamilyen többszörösével változik meg, hiszen | | | |
Így ha egy egyjegyű számból kiindulva az ismételt szorzásnál a tízesek jegye mindig páros, akkor ez igaz minden olyan számra is, amelyik erre a jegyre végződik és tízes helyértékű jegye páros. Ezek szerint helyett választható bármilyen egész szám, amelynek utolsó jegye , , , , vagy , utolsó előtti jegye pedig páros.
Fazekas Árpád (Nyíregyháza, Vasvári P. Gimn. III. o. t. ) | Megjegyzés. Bár a feladat nem kívánta a helyére írható összes megfelelő szám megadását, könnyű a fentiekhez hasonló gondolatmenettel belátni, hogy a fent említett számokon kívül nincs más megfelelő, sőt a -ra végződőkön kívül bármelyikből kiindulva végtelen sok olyan többszörös fordul elő, amelyben a tízes helyértékű számjegy páratlan. |