Kezdőlap


Feladat:	1208. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csetényi A. , Gegesy F. , Hárs László , Horváth L. , Lengyel T. , Nagy D. , Pintér Vera , Reviczky J. , Simon Júlia , Szalontai Á. , Tóth László , Török Gy. , Zachar Z.
Füzet:	1969/november, 135 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1208. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C D E = V$ alapidom szabályos volta, forgási és tengelyes szimmetriái miatt elég a kérdéseket pl. az $A B C$ szögnek abban az $M$ mellékszög-tartományában vizsgálni, amelynek egyik szára a $B A$ félegyenes (2. ábra).

2. ábra

A teljes úthosszak és terület az

M

-ben kapott úthosszak és terület

5

-szöröse lesz.
A

72^{\circ}

nyílású

M

-ből az

E A

félegyenes egy szakasza az

A B D' = H

egyenlő szárú háromszöget metszi le, a

D E

félegyenes pedig a

C'

csúcsú,

36^{\circ}

nyílású

C_{1}

szögtartományt; a maradó tartomány legyen

M_{0}

P

álláspontunkat

H

-ban felvéve

V

látószöge az

A P B ∢

M_{0}

-beli

P

-ből az

E P B ∢

C_{1}

-beliből a

D P B ∢

, vagyis a

B A

oldal, ill, a

B E

B D

átló látószöge, így az útvonalak a mondott szakaszok

ϑ = 90^{\circ}

60^{\circ}

, ill.

54^{\circ}

nyílású látószögkörívének részeiből állnak. A tartományok határvonalán felvett pontból a megfelelő két látószög azonos; pl. az

A D'

szakasz pontjaiból

B A

-é és

B E

-é, így a körív részek végpontjaikkal egymáshoz kapcsolódnak. Minthogy

C_{1}

-beli

P

-ből

D P B ∢ < D C' B ∢ = 36^{\circ}

; ami kisebb

ϑ

mindegyik előírt értékénél, az útvonalak nem haladnak át

C_{1}

-en, a rész-ívek csatlakozási pontjai a

C' A D' B

törött vonalon lesznek.
I. Az ívek hosszai céljára ki kell számítanunk sugarukat és középponti szögüket. A sugár

H

-ban mindig

r = A B / (2 sin ϑ) = a / (2 sin ϑ)

M_{0}

-ban pedig

R = B E / (2 sin ϑ)

, ahol

\begin{matrix} E B = d = 2 a cos 36^{\circ} = a \frac{\sqrt[]{5} + 1}{2} . \end{matrix}

így ‐ a látószög értékét az indexben feltüntetve

\begin{matrix} r_{90} & = \frac{a}{2}, & r_{60} & = \frac{a}{\sqrt[]{3}}, & r_{54} & = \frac{a}{2} (\sqrt[]{5} - 1), \\ R_{90} & = \frac{a}{4} (\sqrt[]{5} + 1), & R_{60} & = \frac{a}{2 \sqrt[]{3}} (\sqrt[]{5} + 1), & R_{54} & = a . \end{matrix}

Messe az

A B

szakasz

ϑ

nyílásszögű

(90^{\circ} ≧ ϑ > 36^{\circ})

O

középpontú látószögköríve

A D'

-t

B'

-ben,

B D'

-t

A'

-ben (3. ábra).

3. ábra

A O B ∢ = 2 ϑ

B O B' ∢ = A' O A ∢ = 2 \cdot 72^{\circ}

szögek lefedik az

O

körüli teljes szöget és az

A' O B' ∢ = φ

szöget mégegyszer, így

\begin{matrix} φ = (2 ϑ + 2 \cdot 144^{\circ}) - 360^{\circ} = 2 ϑ - 72^{\circ} . \end{matrix}

Hasonlóan az

E B

szakasz

ϑ

nyílásszögű,

K

középpontú látóköríve

E' B'

rész-ívéhez tartozó középponti szög (mint előrebocsátottuk,

B'

azonos az előző számításban

B'

-vel, 4. ábra)

\begin{matrix} ψ = 360^{\circ} - (2 ϑ + 2 \cdot 72^{\circ}) = 216^{\circ} - 2 ϑ . \end{matrix}

4. ábra

Így a három útvonal megfelelő íveihez tartozó középponti szög, mindjárt átszámítva ívmértékre

\begin{matrix} φ_{90} & = 108^{\circ} = \frac{3 π}{5}, & φ_{60} & = 48^{\circ} = \frac{4 π}{15}, & φ_{54} & = 36^{\circ} = \frac{π}{5}, \\ ψ_{90} & = 36^{\circ} = \frac{π}{5}, & ψ_{60} & = 96^{\circ} = \frac{8 π}{15}, & ψ_{54} & = 108^{\circ} = \frac{3 π}{5} . \end{matrix}

(Az

A'

B'

E'

pontot az 5. ábrán

A_{ϑ}

B_{ϑ}

E_{ϑ}

jelöli.)

5. ábra 6. ábra

Ezek alapján az

U_{ϑ}

útvonalak hossza,

4

értékes számjegyre

\begin{matrix} U_{90} & = 5 (A_{90} B_{90} + B_{90} E_{90}) = 5 (r_{90} \cdot φ_{90} + R_{90} \cdot ψ_{90}) = \frac{π a}{4} (7 + \sqrt[]{5}) = 725, 4 m,U_{60}=5(r_{60}\cdotφ_{60}+R_{60}\cdotψ_{60})=\frac{4 π a}{3 \sqrt[]{3}}(2+\sqrt[]{5})=1024 m,U_{54}=5(r_{54}\cdotφ_{54}+R_{54}\cdotψ_{54})=\frac{π a}{2}(5+\sqrt[]{5})= 1137 m. \end{matrix}

II. A belső

U_{90}

és a külső

U_{54}

közti területet mint az

U_{54}

, valamint az

U_{90}

által körülhatárolt

T_{54}

és

T_{90}

területek különbségét számítjuk, a szimmetriát ismét felhasználva.
A

B_{54} E_{54}

körív középpontja

A

, mert

B A E ∢ = 108^{\circ}

, a látószög

2

-szerese. Így

T_{54}

-nek

M

-beli része az

A B_{54} E_{54}

és az

O_{54} A_{54} B_{54}

körcikk és az

A B A_{54} O_{54} B_{54}

ötszög. Az ötszög az

A B D'

háromszög és az

O_{54} A_{54} D' B_{54}

négyszög különbsége, az utóbbi pedig rombusz, mert

φ_{54}

egyenlő az

A D' B

szöggel. Az

A B D'

háromszögnek a szárra merőleges magassága és hasonlóan a rombusz magassága

B B_{90} = B E