Kezdőlap


Feladat:	1207. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Cserháti András , Csernyés Mária , Csetényi A. , Donga Gy. , Feindl F. , Fischer Ágnes , Gajdács Ibolya , Gál P. , Gáspár Gy. , Gyimesi A. , Gyimesi F. , Gödöllei Margit , Gönczi I. , Göndőcs F. , Horváth L. , Juhász Judit , Kabos S. , Kálmán M. , Kiss Ipoly , Komjáth P. , Kökényesi Gy. , Láz J. , Lázár A. , Lengyel J. , Lukács P. , Magyar L. , Martoni V. , Monostori L. , Morvai I. , Nagy Cs. , Nagy Z. , Prőhle T. , Rékasi J. , Reviczky J. , Sailer K. , Sashegyi L. , Schügerl Márta , Simon Júlia , Simonyi Gy. , Sváb J. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szendrényi Tibor , Szirmai Z. , Tóth Ágnes , Váradi Judit , Viszkei Gy. , Zárboch Zs.
Füzet:	1969/március, 110 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1207. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldása a következő észrevételen alapszik: ha a $T U V$ háromszögbon a $T$ -ből induló $s_{T}$ súlyvonal hossza egyenlő az $U$ -ból induló $m_{U}$ magasság hosszával, akkor $s_{T}$ $30^{\circ}$ -ot vagy $150^{\circ}$ -ot zár be a $T V$ oldallal, és megfordítva is, ha a mondott szög $30^{\circ}$ vagy $150^{\circ}$ , akkor $s_{T} = m_{U}$ (l. $a$ és $b$ ábra).

1a. ábra

1b ábra

Valóban, legyen

U V

felezőpontja

T_{0}

, továbbá

T_{0}

és

U

vetülete a

T V

egyenesen

T_{1}

U_{1}

, akkor

T_{0} T_{1}

U U_{1} V

háromszög középvonala, s így

\begin{matrix} T_{0} T_{1} = \frac{1}{2} U U_{1} = \frac{1}{2} m_{U} = \frac{1}{2} s_{T} = \frac{1}{2} T_{0} T, \end{matrix}

vagyis a

T T_{0} T_{1}

derékszögű háromszögben a

T_{0} T_{1}

befogó az átfogó fele, s így

T T_{1}

-re tükrözve a háromszöget, szabályos háromszög keletkezik, tehát

T_{0} T T_{1} ∢ = 30^{\circ}

vagy

150^{\circ}

aszerint, hogy

T_{1}

és

U_{1}

T V

félegyenesen vagy

T

-n túli meghosszabbításán van-e.
Fordítva, ha a

T_{0} T T_{1} ∢

30^{\circ}

vagy

150^{\circ}

, akkor a

T T_{0} T_{1}

derékszögű háromszögben

\begin{matrix} T_{0} T_{1} = \frac{1}{2} T_{0} T, \end{matrix}

másrészt, mivel

T_{0} T_{1}

U U_{1} V

háromszög középvonala, így

\begin{matrix} T_{0} T_{1} = \frac{1}{2} U U_{1}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} s_{T} = m_{U} . \end{matrix}

Feladatunkban az egyenlő magasság és súlyvonal közül az elsőnek a kezdőpontját a három csúcs közül háromféleképpen választhatjuk és ehhez az utóbbi kezdőpontját a maradó csúcsok közül mindig kétféleképpen, ami

6

lehetőséget jelent.
A magasságot

m

-mel, a súlyvonalat

s

-sel jelölve és indexben tüntetve fel azt a csúcsot, amelyikből indul, ezt a hat lehetséges esetet három párba sorolhatjuk az alábbi módon:

\begin{matrix} I. & m_{M} = s_{K}, & I'. & m_{M} = s_{L}, \\ II. & m_{K} = s_{M}, & II'. & m_{L} = s_{M}, \\ III. & m_{L} = s_{K}, & III'. & m_{K} = s_{L}. \end{matrix}

Világos, hogy az egymás mellett álló feltételekben csak

K

és

L

szerepe cserélődik meg, s így a megfelelő

M

pontok halmaza egymás tükörképe a

K L

szakasz felező merőlegesére. Elég tehát csak az I., II. és III. feltételeket kielégítő

M

pontokat megkeresnünk. Az is világos, hogy minden megfelelő

M

ponttal együtt a

K L

egyenesre vonatkozó tükörképére is teljesülnek a feladat feltételei.
I. Az első esetben ‐

L M

felezőpontját

K_{0}

-lal jelölve ‐ az előrebocsátott megjegyzés szerint az

L K K_{0} ∢

vagy

30^{\circ}

vagy

150^{\circ}

és a

K L

-lel ilyen szöget bezáró két egyenes minden a

K

-tól különböző pontja szerepelhet

K_{0}

-ként (2. ábra).

2. ábra

M

pont a

K_{0}

-nak az

L

középpontból kétszeresre nagyított képe, így annak a két egyenesnek valamelyikén van, amelyek

L

-nek

K

-ra vonatkozó

L^{*}

tükörképén mennek át és a

K L

egyenessel

30^{\circ}

-os szöget zárnak be. Ezeknek minden az

L^{*}

-tól különböző pontja megfelel

M

csúcsnak.
II. Jelöljük

M_{0}

-lal a

K L

szakasz felezőpontját. Most az

L M M_{0}

szög

30^{\circ}

-os vagy

150^{\circ}

-os, így annak a két, az

L

-en és az

M_{0}

-on átmenő körnek az

M_{0}

-tól és

L

-től különböző pontjai elégítik ki a feltételt, amelyeknek az

M_{0}

és

L

közti íveiről

M_{0} L

30^{\circ}

-ban, ill.

150^{\circ}

-ban látszik (3. ábra).

3. ábra

A körök sugara nyilvánvalóan

M_{0} L = K L / 2

.
III. Ha végül

m_{L} = s_{K}

, akkor a

K_{0} K M

szög

30^{\circ}

-os vagy

150^{\circ}

-os.

M

-en át

K K_{0}

-lal párhuzamost húzva ez átmegy

L^{*}

-on és

\begin{matrix} L^{*} M K ∢ = M K K_{0} ∢, \end{matrix}

tehát az

M

pontból most az

L^{*} K

szakasz látszik

30^{\circ}

vagy

150^{\circ}

szögben, és ismét az ezt a feltételt kielégítő mindkét kör minden az

L^{*}

-tól és

K

-tól különböző pontja megfelelő

M

-csúcs (4. ábra). A körök sugara nyilvánvalóan

K L^{*} = K L

4. ábra

Megállapításainkat egybevetve a kívánt tulajdonságú

K L M

háromszögek

M

csúcsa az

5

. ábra

4

egyeneséből,

4

K L / 2

sugarú köréből és

4

K L

sugarú köréből álló alakzat pontja, kizárva azonban a

K

L

K^{*}

L^{*}

és

M_{0}

pontokat.

5. ábra

Cserháti András (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., II. o. t.) dolgozatából összevonásokkal