|
Feladat: |
1207. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Cserháti András , Csernyés Mária , Csetényi A. , Donga Gy. , Feindl F. , Fischer Ágnes , Gajdács Ibolya , Gál P. , Gáspár Gy. , Gyimesi A. , Gyimesi F. , Gödöllei Margit , Gönczi I. , Göndőcs F. , Horváth L. , Juhász Judit , Kabos S. , Kálmán M. , Kiss Ipoly , Komjáth P. , Kökényesi Gy. , Láz J. , Lázár A. , Lengyel J. , Lukács P. , Magyar L. , Martoni V. , Monostori L. , Morvai I. , Nagy Cs. , Nagy Z. , Prőhle T. , Rékasi J. , Reviczky J. , Sailer K. , Sashegyi L. , Schügerl Márta , Simon Júlia , Simonyi Gy. , Sváb J. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szendrényi Tibor , Szirmai Z. , Tóth Ágnes , Váradi Judit , Viszkei Gy. , Zárboch Zs. |
Füzet: |
1969/március,
110 - 113. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenes, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/május: 1207. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat megoldása a következő észrevételen alapszik: ha a háromszögbon a -ből induló súlyvonal hossza egyenlő az -ból induló magasság hosszával, akkor -ot vagy -ot zár be a oldallal, és megfordítva is, ha a mondott szög vagy , akkor (l. és ábra).
1a. ábra
1b ábra Valóban, legyen felezőpontja , továbbá és vetülete a egyenesen , , akkor az háromszög középvonala, s így | | vagyis a derékszögű háromszögben a befogó az átfogó fele, s így -re tükrözve a háromszöget, szabályos háromszög keletkezik, tehát vagy aszerint, hogy és a félegyenesen vagy -n túli meghosszabbításán van-e. Fordítva, ha a vagy , akkor a derékszögű háromszögben másrészt, mivel az háromszög középvonala, így tehát Feladatunkban az egyenlő magasság és súlyvonal közül az elsőnek a kezdőpontját a három csúcs közül háromféleképpen választhatjuk és ehhez az utóbbi kezdőpontját a maradó csúcsok közül mindig kétféleképpen, ami lehetőséget jelent. A magasságot -mel, a súlyvonalat -sel jelölve és indexben tüntetve fel azt a csúcsot, amelyikből indul, ezt a hat lehetséges esetet három párba sorolhatjuk az alábbi módon:
Világos, hogy az egymás mellett álló feltételekben csak K és L szerepe cserélődik meg, s így a megfelelő M pontok halmaza egymás tükörképe a KL szakasz felező merőlegesére. Elég tehát csak az I., II. és III. feltételeket kielégítő M pontokat megkeresnünk. Az is világos, hogy minden megfelelő M ponttal együtt a KL egyenesre vonatkozó tükörképére is teljesülnek a feladat feltételei. I. Az első esetben ‐ LM felezőpontját K0-lal jelölve ‐ az előrebocsátott megjegyzés szerint az LKK0∢ vagy 30∘ vagy 150∘ és a KL-lel ilyen szöget bezáró két egyenes minden a K-tól különböző pontja szerepelhet K0-ként (2. ábra).
2. ábra Az M pont a K0-nak az L középpontból kétszeresre nagyított képe, így annak a két egyenesnek valamelyikén van, amelyek L-nek K-ra vonatkozó L* tükörképén mennek át és a KL egyenessel 30∘-os szöget zárnak be. Ezeknek minden az L*-tól különböző pontja megfelel M csúcsnak. II. Jelöljük M0-lal a KL szakasz felezőpontját. Most az LMM0 szög 30∘-os vagy 150∘-os, így annak a két, az L-en és az M0-on átmenő körnek az M0-tól és L-től különböző pontjai elégítik ki a feltételt, amelyeknek az M0 és L közti íveiről M0L 30∘-ban, ill. 150∘-ban látszik (3. ábra).
3. ábra A körök sugara nyilvánvalóan M0L=KL/2. III. Ha végül mL=sK, akkor a K0KM szög 30∘-os vagy 150∘-os. M-en át KK0-lal párhuzamost húzva ez átmegy L*-on és tehát az M pontból most az L*K szakasz látszik 30∘ vagy 150∘ szögben, és ismét az ezt a feltételt kielégítő mindkét kör minden az L*-tól és K-tól különböző pontja megfelelő M-csúcs (4. ábra). A körök sugara nyilvánvalóan KL*=KL.
4. ábra Megállapításainkat egybevetve a kívánt tulajdonságú KLM háromszögek M csúcsa az 5. ábra 4 egyeneséből, 4 db KL/2 sugarú köréből és 4 db KL sugarú köréből álló alakzat pontja, kizárva azonban a K, L, K*, L* és M0 pontokat.
5. ábra
Cserháti András (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., II. o. t.) dolgozatából összevonásokkal
|
|