Kezdőlap


Feladat:	1205. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gál Péter , Vogel Anna
Füzet:	1968/december, 218. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Barátságos számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1205. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$}a) Törzstényezők szorzatára bontva $284 = 2^{2} \cdot 71, 220 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 11$ , így az ajánlott 1106. gyakorlat gondolatmenete szerint felírva mind a $(2 + 1) (1 + 1) = 6$ , ill. hasonlóan $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ osztójukat, majd azok összegét (innen azonban magukat a számokat elhagyva, 1-et pedig az osztók közé értve):

\begin{matrix} 284 esetében: 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220, \end{matrix}

220

esetében:

[(1 + 2 + 4) + (5 + 10 + 20)] + [(11 + 22 + 44) + (55 + 110)] = 284

, tehát az állítás szerinti megegyezés fennáll.
b) Hasonlóan

76 084 = 2^{2} \cdot 23 \cdot 827

, és itt 827 prímszám, mert a négyzetgyökénél,

28, 7

-nél kisebb prímek egyikével sem osztható, így ‐ amennyiben az állítás helyes ‐ barátságos párja csak az osztóiból képezett összeg lehet, ami alkalmas csoportosítással

\begin{matrix} + [(827 + 1654 + 3308) + (19 021 + 38 042)] = \\ = [7 + 23 \cdot 7] + [827 (7 + 23 \cdot 7) - 76 084] = (1 + 2 + 4) (1 + 23) (1 + 827) - 76 084 = \\ = 63 020. \end{matrix}

Valóban, képezve a

63 020 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 23 \cdot 137

felbontás alapján e szám

3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 24

osztójának összegét, és elhagyva az összegből magát a számot, visszakapjuk

76 084

-et. Az összeget az utóbbiakhoz hasonlóan mindjárt rövidítve képezzük:
a legfeljebb 2 hatványait tartalmazó osztók összege

1 + 2 + 4 = 7

;
azok összege, amelyek ezeken kívül legföljebb az 5-ös tényezőt tartalmazzák:

7 + 5 \cdot 7 = (1 + 5) 7 = 42

;
figyelembe véve a

23

-at, végül a

137

-et tényezőként tartalmazókat is, rendre

(1 + 23) \cdot 42 = 1008

, ill.

(1 + 137) 1008 = 139 104

, és ebből kivonva magát a

63 020

-at, a maradvány

76 084

Gál Péter (Budapest, Kazinczy F. Ált. Isk., 8. o. t.),
Vogel Anna (Szentendre, Ferences Gimn., I. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd az 1106. gyakorlatot, K. M. L. 35 (1967) 151. o.