Kezdőlap


Feladat:	1203. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/január, 26 - 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Magasabb fokú egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1203. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feltesszük, hogy $a \neq 0$ , mert különben minden $x$ -re $y = - x$ kielégíti az egyenletrendszert.

A (2) bal oldalát ismert azonosság alapján szorzattá alakítjuk:

\begin{matrix} (x + y) (x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4}) = 2 a^{5}, \end{matrix}

és így, (1) figyelembevételével

\begin{matrix} x^{4} - x^{3} y + x^{2} y^{2} - x y^{3} + y^{4} = 2 a^{4} . \end{matrix}

(3)

Másrészt

\begin{matrix} {(x + y)}^{4} = x^{4} + 4 x^{3} y + 6 x^{2} y^{2} + 4 x y^{3} + y^{4} = a^{4}, \end{matrix}

és ebből (3)-at kivonva egyenletet kapunk az

x y

szorzatra:

\begin{matrix} 5 x y (x^{2} + x y + y^{2}) = 5 x y [{(x + y)}^{2} - x y] = 5 x y (a^{2} - x y) = - a^{4}, \\ 5 {(x y)}^{2} - 5 a^{2} (x y) - a^{4} = 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} {(x y)}_{I} = \frac{a^{2}}{10} (5 - 3 \sqrt[]{5}), {(x y)}_{II} = \frac{a^{2}}{10} (5 + 3 \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

Ezeket (1)-gyel összekapcsolva ismerjük

x

és

y

összegét és szorzatát, így két különálló másodfokú egyenletet kapunk, melyeknek gyökei az (1)-et és (2)-t kielégítő

x

y

értékpárok. Az

{(x y)}_{I}

alapján adódó egyenlet

\begin{matrix} z^{2} - a z + \frac{a^{2}}{10} (5 - 3 \sqrt[]{5}) = 0, \end{matrix}

és így az adódó

x

y

értékpár

\begin{matrix} \frac{a}{2} \pm \frac{a}{10} \sqrt[]{30 \sqrt[]{5} - 25} . \end{matrix}

Numerikusan

a \cdot 1, 1487

és

- a \cdot 0, 1487

{(x y)}_{II}

alapján adódó egyenletnek nincs valós megoldása, az adott rendszert tehát két valós

x

y

értékpár elégíti ki, amelyek az értékek felcserélésével keletkeznek.

Ekvivalens átalakításokat végeztünk, nem veszthettünk el gyököt és új gyök sem léphetett be, ezért a megoldások kipróbálása nem szükséges.

Megjegyzés. Kézenfekvő a rendszert egyismeretlenes egyenletre visszavezetni, (1) alapján az új

z

ismeretlent vezetve be:

\begin{matrix} x = \frac{a}{2} + z, y = \frac{a}{2} - z . \end{matrix}

Ezeket (2)-be beírva

z

páratlan kitevős hatványai kiesnek:

\begin{matrix} 2 [{(\frac{a}{2})}^{5} + 10 {(\frac{a}{2})}^{3} z^{2} + 5 \frac{a}{2} z^{4}] = 2 a^{5}, \\ z^{4} + \frac{a^{2}}{2} z^{2} - \frac{31 a^{4}}{80} = 0, (a \neq 0) \\ z = a \sqrt[]{- \frac{1}{4} \pm \frac{3}{2 \sqrt[]{5}}}, \end{matrix}

ami, a belső gyököt

+

előjellel véve a fentivel azonos eredmény.