Kezdőlap


Feladat:	1202. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Akar L. , Angster Erzsébet , Angster Judit , Barabás E. , Bartholy Judit , Cserháti A. , Csetényi A. , Donga Gy. , Fodor P. , Frey Julianna , Gajdács Ibolya , Gatter J. , Gyimesi András , Gyimesi F. , Gönczi I. , Göndőcs F. , Hegyi Gy. , Horváth L. , Kálmán M. , Karády Ilona , Komjáth P. , Kuhár J. , Lengyel J. , Magyar L. , Mihály Gy. , Monostori L. , Nagy S. , Prőhle T. , Reviczky J. , Róna Julianna , Sailer K. , Selényi P. , Simon Júlia , Somogyi Gy. , Sváb J. , Szabó Lóránt , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Szlacsányi K. , Szőnyi Á. , Treszl J. , Török Gy. , Vogel A. , Zábrádi J.
Füzet:	1969/január, 22 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletek, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/május: 1202. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Tekintsük először az utazás valóságos lefolyását az első pihenőig. Természetesen föltesszük, hogy $m_{2} > g$ , hiszen a feladatnak csak így van gyakorlati értelme. Legyen az indulás és a motoros 1., 2., 3., 4. irányváltoztatása, valamint a pihenőhelyre való érkezés közti időközök tartama rendre $t_{1}$ , $t_{2}$ , $t_{3}$ , $t_{4}$ , $t_{5}$ .

1. ábra

A 4 útitárs mozgási grafikonját ugyanabban a koordinátarendszerben ábrázolva, a meredekségek (sebességek) közti egyezésekből nyilvánvaló, hogy az ábra szimmetrikus a

B

motoron utazását ábrázoló egyenesszakasz felezőpontjára nézve, ezért

t_{4} = t_{2}

, és

t_{5} = t_{1}

. Továbbá

A

és

C

ugyanakkora utat tesznek meg a motoron,

B

viszont kisebbet. Egyezik még az

A

és

C

által magányosan megtett út is, valamint a

B

-vel párban megtett útjuk.

C

a terv szerinti

d

távolságot a motorossal együtt

t_{1} = \frac{d}{m_{2}}

idő alatt tette meg. Ugyanezen idő alatt

A

és

B

közös útja

g t_{1} = d \cdot \frac{g}{m_{2}}

, így

D

és

C

előnye a motor első visszafordulásakor

\begin{matrix} e_{1} = d - d \cdot \frac{g}{m_{2}} = d \cdot \frac{m_{2} - g}{m_{2}} . \end{matrix}

Ezután

D

és az

A

B

pár

m + g

sebességgel közeledett egymáshoz és a találkozás időpontjára az előny 0-ra csökkent, tehát

\begin{matrix} t_{2} = \frac{e_{1}}{m + g} = \frac{d (m_{2} - g)}{m_{2} (m + g)} (= t_{1} \cdot \frac{m_{2} - g}{m + g}) . \end{matrix}

Másrészt ezen időszakban

C

és

D

m + g_{1}

sebességgel távolodtak egymástól, ezért

C

előnye az időszak végén

\begin{matrix} e_{2} = (m + g_{1}) t_{2} = e_{1} \cdot \frac{m + g_{1}}{m + g} = d \cdot \frac{m_{2} - g}{m_{2}} \cdot \frac{m + g_{1}}{m + g} (< e_{1}) . \end{matrix}

A

-nak és

B

-nek eddig megtett útja, ami ‐ mint láttuk ‐ megadja

B

-nek és

C

-nek az utolsó két időszakban megtett útját is

\begin{matrix} x_{A,1} = x_{B,1} = g (t_{1} + t_{2}) = d \cdot \frac{g (m + m_{2})}{m_{2} (m + g)} = x_{B,3} = x_{C,3} . \end{matrix}

(1)

Mialatt a motoros

B

-t vitte előre,

m_{2} - g_{1}

sebességgel közeledtek

C

-hez, és ugyanekkora sebességgel távolodtak

A

-tól. Az utolérésig eltelt idő

\begin{matrix} t_{3} = \frac{e_{2}}{m_{2} - g_{1}} = t_{2} \cdot \frac{m + g_{1}}{m_{2} - g_{1}} = \frac{d}{m_{2}} \cdot \frac{m_{2} - g}{m_{2} - g_{1}} \cdot \frac{m + g_{1}}{m + g} (< t_{1}), \end{matrix}

és az időszak végén a motoros előnye

A

-hoz képest, mint vártuk,

e_{3} = (m_{2} - g_{1}) t_{3} = e_{2}

B

-nek motoron megtett útja

\begin{matrix} x_{B,2} = m_{2} t_{3} = d \cdot \frac{m_{2} - g}{m_{2} - g_{1}} \cdot \frac{m + g_{1}}{m + g}, \end{matrix}

és ez valóban kisebb

d

-nél, mert a kifejezésben

d

után álló szorzók mindegyike kisebb 1-nél (és pozitív).

C

eddigi gyalogútja pedig

\begin{matrix} x_{C,2} = g_{1} (t_{2} + t_{3}) = g_{1} t_{2} (1 + \frac{m + g_{1}}{m_{2} - g_{1}}) = g_{1} t_{2} \frac{m + m_{2}}{m_{2} - g_{1}} = d \cdot \frac{g_{1}}{m_{2}} \cdot \frac{m_{2} - g}{m_{2} - g_{1}} \cdot \frac{m + m_{2}}{m + g} \\ (= \frac{g_{1}}{g} \cdot \frac{m_{2} - g}{m_{2} - g_{1}} \cdot x_{C,3}) . & (2) \end{matrix}

II. Az eddigiekből egyszerűen visszaállíthatjuk az utazás tervét, csupán

m_{2}

helyére mindenütt

m

-et,

g_{1}

helyére

g

-t kell írnunk.
A pihenőhelyig tervezett úthossz, a mindig elöl haladó

C

-re mondottak szerint,

x_{C,1}

x_{C,2}

és

x_{C,3}

alapján ‐ másrészt a további ismétlésekre tekintettel

\begin{matrix} y = d + d \cdot \frac{2 g}{m + g} + d \cdot \frac{2 g}{m + g} = d \cdot \frac{m + 5 g}{m + g} = \frac{s}{3}, \end{matrix}

(3)

(mint előre látható volt, második és harmadik útszakasza egyenlő; a 2. ábra az utazás tervének grafikonját adja).

2. ábra

Innen pedig a pihenőhelyig tervezett menetidő (a megfelelő sebességekkel osztva):

\begin{matrix} t = \frac{d}{m} + \frac{4 d}{m + g} = \frac{d (5 m + g)}{m (m + g)} . \end{matrix}

(4)

Továbbá a motor igénybevételével megtenni tervezett szakasz hossza (3)-ból

\begin{matrix} d = \frac{s}{3} \cdot \frac{m + g}{m + 5 g}, \end{matrix}

(5)

az első pihenőhely elérésének tervezett ideje (4)-ből és (5)-ből

\begin{matrix} t = \frac{s}{3 m} \cdot \frac{5 m + g}{m + 5 g}, \end{matrix}

(6)

végül a tervezett átlagsebesség, a

T

időtartamú pihenőket is figyelembe véve

\begin{matrix} v = \frac{s}{3 t + 2 T} = \frac{s}{\frac{s}{m} \cdot \frac{5 m + g}{m + 5 g} + 2 T} . \end{matrix}

III. A numerikus adatokkal (5)-ből

d = 140 / 11 = 12, 73 km

, tehát a pihenőig terjedő 20 km-es útrészből gyalogútnak

80 / 11 = 7, 27 km

-t terveztek; (6)-ból

t = 62 / 33 óra = 1 óra 53 perc

, ebből 25 perc a motoron, kb. másfél óra gyalog. Kézenfekvő tehát felvenni, hogy a pihenő időt félórának vették, ebben az esetben a célba érésig eltelt idő kb. 6 óra 40 perc, és a tervezett átlagsebesség 9 km/óra.
A megvalósult eredmények viszont a következők:

x_{C,1} = d = 140 / 11 km

x_{C,2} = 64 / 21 km

;

x_{C,3} = 4 km

, együtt

x = 19 + 179 / 231 km = 19, 78 km

, vagyis

52 / 231 = 0, 22

km-rel kevesebb, mint

s / 3 = 20

km, a

gyalog tett útrész = 7, 05 km

. Az eltelt rész-idők közül az első három:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{28}{55} óra (= 30, 5 perc), t_{2} = \frac{16}{55} óra (= 17, 5 perc), \\ t_{3} = \frac{544}{1155} óra (= 28, 2 perc), \end{matrix}

a teljes idő

2 (t_{1} + t_{2}) + t_{3} = 2 óra 4, 2 perc

IV. Az utazásnak az első pihenő utáni folytatására áttérve megjegyezzük, hogy (1) szerint

x_{C,3}

mindenesetre nagyobb, mint (3) második tagja, a tervezett gyalog-részlet fele, mert

\begin{matrix} \frac{m + m_{2}}{m_{2}} = 1 + \frac{m}{m_{2}} > 2, \end{matrix}

továbbá, hogy

x_{C,3}

nem függ

g_{1}

-től.

x_{C,2}

viszont (2) szerint

g_{1}

értékétől függően nagyobb is, kisebb is lehet a tervezettnél, pl.

g_{1} = g

esetén

x_{C,2} = x_{C,3}

, viszont

g_{1} = 0

esetén

x_{C,2} = 0

; ennélfogva az

x = d + x_{C,2} + x_{C,3}

út nagyobbnak is, kisebbnek is adódhat, mint

s / 3

.
Így a program két ismétlésében alkalmazandó

d'

értékét úgy kell megválasztaniuk, hogy ‐ a további új értékeket is az eddigi módon, de fönt alkalmazott vesszővel jelölve ‐ teljesüljön

\begin{matrix} d' + x'_{C,2} + x'_{C,3} = \frac{s - x}{2} . \end{matrix}

Innen

d'

a fentiek felhasználásával kifejezhető, mint

s

és a négy sebesség függvénye.
A továbbiakban csak a számpélda esetére szorítkozva, a két ismétlésben megteendő útszakasz egyenként

20, 11 km

, emiatt

\begin{matrix} d' = d \frac{20, 11}{19, 78} = 12, 95 km, \end{matrix}

a növekedés kb.

1, 7 %

.
Ilyen arányban növekszik a program ismétléseihez felhasznált idő is, 2 óra 6 percre. Ismét félórás pihenőket megengedve, az indulástól számítva kb. 7 óra 16 perc múlva érnek célba, és így átlagsebességük kb.

8, 3 km/óra

V. A gyalog tett útrész arányszáma megállapítható már a pihenő előtti útrész eredményei alapján is. Ezt is csak a numerikus példa esetére számítjuk ki.

C

és

A

részére az arány a fentiek szerint

7, 05 / 19, 78 = 0, 356

B

gyalog útrésze

2 x_{C,3} = 8 km

, arányszáma

0, 405

. Ezzel a megoldást befejezettnek nyilvánítjuk.

Megjegyzés. A terv rész-eredményei természetesen jóval egyszerűbben meghatározhatók, viszont nem tehetik elkerülhetővé a megvalósult változat fenti, vagy másféle számítását.
Pl.

A

és

B

közösen megtett útszakaszát

z

-vel jelölve

D

B

felvételéig

2 d - z

utat tesz meg, ezért az utak és sebességek arányából

\begin{matrix} (2 d - z) : z = m : g, z = d \cdot \frac{2 g}{m + g} . \end{matrix}

Így abból, hogy a program első szakaszának hossza

\begin{matrix} d + 2 z = d (1 + \frac{4 g}{m + g}) = \frac{s}{3}, \end{matrix}

adódik (5).

Gyimesi András (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)