Feladat: 1201. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Angyal József ,  Czédli Gábor 
Füzet: 1969/február, 66. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Csonkagúlák, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/április: 1201. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az A, B, C, A1, F és K csúcsokkal meghatározott konvex poliéder valóban csonkagúla, mert AA1, BF és CK élének meghosszabbításai egy ponton mennek át, és A1FK lapja párhuzamos az ABC lappal. Valóban, az AA1 és BF egyenesek metszik egymást, mert benne vannak a kocka ABB1A1 lapjában és nem párhuzamosak. Közös pontjukat M-mel jelölve MA1F és MAB hasonló háromszögek, mert A1FAB, és A1F=AB/2 miatt MA1=MA/2, tehát MA1=A1A, M az A csúcsnak A1-re való tükörképe. Ugyanezek állnak az AA1 és CK egyenesek metszéspontjára is, hiszen CK benne halad a kocka ACC1A1 átlós síkjában, így A1K párhuzamos AC-vel és fele akkora, tehát CK is M-ben metszi AA1-et, amint állítottuk. Ezek szerint a csonkagúla úgy állt elő, hogy az MABC=G gúlából lemetszettük az MA1FK=G1 gúlát.

 

 

Legyen a kocka éle AB=a, ekkor G és G1 alapjának területe a2/2, ill. a2/8, magasságuk 2a, ill. a, így térfogatuk
V=a222a3=a33,V1=a28a3=a324,
és a csonkagúla térfogata
Vcs=V-V1=a33-a324=7a324=13608,
amiből a3=241944=323963=(236)3, a=36 hosszúságegység.
A csonkagúla oldallapjai derékszögű trapézok, mert AA1, mint kockaél, merőleges az AB, AC élekre, továbbá FBBC, mert FB benne van a kockaélre merőlegesen álló ABB1A1 kockalap síkjában. A hosszúságokat tekintve AC=a2, A1K=a2/2, és BFB1 derékszögű háromszögből BF=a5/2; így az ABFA1, ACKA1, BCKF oldallap területe rendre
3a24,32a24,35a28,
végül az alaplapok fent már megállapított területét is véve a felszín
Fcs=a2(12+18+34+324+358)=a28(11+62+35)a23,2744243  ter. egys.
 

 Czédli Gábor (Baja, III. Béla Gimn., I. o. t.)
 Angyal József (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzés. Felhasználhattuk volna V1 meghatározására azt is, hogy a két gúla hasonló, éleik aránya 1:2, ezért V1:V=1:8.