|
Feladat: |
1200. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bartholy Judit , Bruckner Lívia , Dombi G. , Donga György , Fodor Péter , Gajdács Ibolya , Gödöllei Margit , Göndőcs F. , Komjáth P. , Korecz L. , Láz J. , Lengyel J. , Máté A. , Melegh E. , Morvai I. , Pongrácz Gy. , Prőhle T. , Pukler A. , Reviczky J. , Róna Julianna , Sailer K. , Sashegyi László , Simon Júlia , Sváb J. , Szalontai Á. , Szamosújvári S. , Szendrei Ágnes , Szendrei Mária , Török Gyula , Váradi Judit , Zábrádi János |
Füzet: |
1969/április,
158 - 161. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkidomok átdarabolása, Négyzetek, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1968/április: 1200. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. a) Gondoljuk az oldalú, négyzetet átdarabolva kis négyzetté. Ezek oldalhossza Egymás mellé helyezve egy magasságú és alapú téglalapot kapunk belőlük. -et átdaraboljuk -be úgy, hogy -n át egy -től távolságban haladó egyenessel lemetszünk -ből egy háromszöget, majd a maradó részt egy -től távolságban haladó párhuzamos szakasszal (1.ábra).
1. ábra Legyen merőleges vetülete -n , az és egyenesek metszéspontja . Ekkor és hasonló háromszögek, így | | amiből | | Eszerint a szakasz meghosszabbításán van, -tő1 -nál kisebb távolságra, tehát -nek oldalára esik. és távolsága -től ugyanakkora, mint -é, tehát , így a oldalon van. (-t kimetszi a körüli sugarú körív.) A négyzet részét, úgy illesztve össze, hogy csatlakozzék -hez, majd a új helyzetéhez, egy paralelogrammát, kapunk. Ezt mentén átvágva és az háromszöget a szemközti oldalhoz csúsztatva helyzetbe, megkapjuk a téglalapot. Ezt a oldalára merőleges , vágásokkal három egyenlő területű részre vágva megkapjuk a keresett kis négyzeteket, hiszen s így a, terület változatlansága miatt . Felmérve -re az , továbbá -ból felé a távolságot és ezekből -re merőleges vágásokkal feldarabolva az ötszöget, ill. az háromszöget, az négyzetből nyert összesen részből összerakható a három egybevágó kis négyzet. Ha viszont -t a -ből induló magassággal daraboljuk át -be, rész keletkezik.
2. ábra b) Ugyanezzel a gondolatmenettel végezhetjük a oldalú négyzet átdarabolását egybevágó négyzetbe. Most (2. ábra)
Megszerkeszthetjük tehát -t úgy, hogy elmetsszük a körüli sugarú körívvel a egyenest az , pontokban. ezekkel egy egyenlő oldalú háromszög csúcsait adja, tehát -t a egyenesből kimetszi az körüli, sugarú körív. Mivel , azért az vágásvonal szakaszát a vektorral eltolva, az adódó vágásvonal szakasza kívül esik -en, ezen megismételve az eltolást, kapjuk a vágásvonal szakaszát, a keletkezett darabokból összeállíthatjuk -t. Ha -t most is a -ből induló magasság menti vágással daraboljuk át -be, akkor a kis négyzet közül egy egészben adódik, a többiek ‐ darabból állnak össze, rész keletkezik. A -ből húzott magasságot használva viszont kis négyzet adódik egészben, ‐ kis négyzet áll , ill. db-ból, a részek száma így is ; a 2. ábra ezt mutatja be. Sashegyi László (Tatabánya, Árpád Gimn., I. o. t. ) II. megoldás. a) Átdarabolhatjuk -et -be közbeiktatása nélkül is, úgy, hogy rövidebb oldalát -re helyezzük, legyen ez , és (3. ábra).
3. ábra Ekkor az egyenessel lemetszve -ből a háromszöget, ez hasonló -hez, amiből és metszéspontját -gyel jelölve így | | tehát és éppen lefedhető az és háromszöggel, mert oldalaik párhuzamosak és egy-egy megfelelő oldalpárjuk egyenlő. Az ábrán , a és vágásvonalat visszatoltuk a , ill. helyzetbe, ezek, valamint mentén elvágva a részeket, a keletkezett darabból a kis négyzet összeállítható. Azt is könnyű belátni, hogy , és -nak -re való tükörképe egy egyenlő oldalú háromszög csúcsai, tehát tehát kimetszhető a oldal fölé rajzolt egyenlő oldalú háromszög oldalegyenesével. ‐ Azt is mondhatjuk, hogy a szögre fennáll .
4. ábra b) Hasonlóan készült a 4. ábrán látható feldarabolás, . Ebből , és -et -ből kimetszi az a egyenes, ahol a körüli, sugarú kör és az szakasz felező merőlegesének metszéspontja. Így -nek részre való darabolása útján állíthatjuk össze a egybevágó négyzetet. Donga György (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t. ) Fodor Péter (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t. ) Megjegyzés. A négyzetnek , ill. egybevágó kisebb négyzetbe való átdarabolása ‐ amit az 1142. gyakorlatban láttunk ‐ lényegében azonos az I. megoldással, ott , ill. , és az ábrákon négyes forgási szimmetria lépett fel. Ezekben az esetekben a II. megoldás értelemszerű átvitele több részre való és a -es forgási szimmetriát nem mutató átdarabolást eredményezne; ugyanígy esetén is. K. M. L. 36 (1968) 117. o. |
|