Kezdőlap


Feladat:	1199. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kovalszky Róbert
Füzet:	1969/február, 64 - 65. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 1199. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az adott $k$ kör középpontja $O$ , sugara $r$ , az adott belső pont $A$ , a két félegyenes $e$ és $f$ . Nyilvánvaló, hogy a keresett körök csak az $e$ , $f$ közti, $180^{\circ}$ -nál kisebb szögtartományban lehetnek; egy-egy kör várható $k$ -n belül és kívül. Legyen $k$ -nak a szögtartományban levő íve $i$ .
Feladatunkat ismert szerkesztési feladatra vezetjük vissza a körzsugorítás módszerével. Érintse az $O_{1}$ közepű, $r_{1}$ sugarú $k_{1}$ kör $e$ -t és $f$ -et, valamint $k$ -t kívülről, rendre az $E_{1}$ , $F_{1}$ , $T_{1}$ pontban. Hosszabbítsuk meg $k_{1}$ minden sugarát kifelé $r$ -rel, így a végpontok az $O_{1}$ közepű, $r_{1} + r$ sugarú $k'_{1}$ körön lesznek, az $O_{1} T_{1}$ sugár meghosszabbításának végpontja éppen $O$ -ban lesz.

k'_{1}

-nek az

O_{1} E_{1}

O_{1} F_{1}

sugár meghosszabbításán levő

E'_{1}

F'_{1}

pontbeli

e'_{1}

, ill.

f'_{1}

érintője párhuzamos

e

-vel, ill.

f

-fel, előállítható belőle rá merőleges,

r

hosszúságú olyan eltolással, mely

i

-t növeli.
Eszerint elég azt a

k'_{1}

kört megszerkesztenünk, mely érinti

e'_{1}

-t,

f'_{1}

-t, átmegy

O

-n, és sugara nagyobb

r

-nél. (

O

mindenesetre az eltolt félegyenesek között lesz, mert

e

-től és

f

-től ‐ ill. meghosszabbításuktól ‐ való távolsága az adatok szerint kisebb

r

-nél.)

k'_{1}

szerkesztésének hasonlósági transzformációval való megoldása megtalálható a tankönyvben;¹ ezt előállítva

k_{1}

a vele koncentrikus,

r

-rel kisebb sugarú kör.
Legyen másrészt feladatunknak a

k

-t belülről érintő megoldása az

O_{2}

közepű

r_{2} (< r)

sugarú

k_{2}

kör, az érintkezési pontok rendre

E_{2}

F_{2}

T_{2}

. Mérjük föl

r

-et

k_{2}

minden pontjából kiindulva

O_{2}

irányában, a végpontok az

O_{2}

középpontú,

r - r_{2}

sugarú

k'_{2}

körön lesznek, és a

T_{2}

-höz tartozó végpont

O

. Legyenek az

E_{2}

F_{2}

pontokhoz tartozó végpontok

E'_{2}

F'_{2}

és a bennük

k'_{2}

-höz húzott érintők

e'_{2}

f'_{2}

, ekkor

k'_{2}

e'_{2}

f'_{2}

egyeneseket érintő,

O

-n átmenő és

r

-nél kisebb sugarú kör,

k_{2}

pedig ezzel koncentrikus.
Amennyiben

e

f

szimmetrikusak az

O A

egyenesre vagy ha még

A

azonos is

O

-val, a szerkesztés egyszerűsödik.

Megjegyzés. A szerkesztés végrehajtásában

f

eltolását megtakaríthatjuk, hiszen pl. az

e'_{1}

, és

f'_{1}

egyenesek

A'_{1}

metszéspontját meghatározza

e'_{1}

és az

e

f

félegyenesek

A A'_{1}

szögfelezője, amit az idézett szerkesztés segédkörének felvétele céljára úgyis meg kell rajzolnunk.

Kovalszky Róbert (Budapest, Landler J. Gimn.)

¹Horvay Katalin-Pálmay Lóránt: Matematika a gimnáziumok és szakközépiskolák II. o. számára, Tankönyvkiadó, Budapest, 1967. 82. o.