Feladat: 1197. matematika gyakorlat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1968/december, 215 - 217. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenesek egyenlete, Egyéb ponthalmazok a koordinátasíkon, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/április: 1197. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Könnyű megállapítani a számlálóbeli polinomtényezők 0-helyeit, azok ismeretében a számlálót gyöktényezők szorzataként írhatjuk.

x5-13x3+36x=x(x4-13x2+36)=0
akkor teljesül, ha x=0, és ha x2=4, és ha x2=9, vagyis az
x=0,±2,±3
helyeken; hasonlóan
x4-17x2+16=0
akkor teljesül, ha x2=1, és ha x2=16, vagyis az
x=±1,±4
helyeken. Nyilvánvaló továbbá, hogy a nevező csak akkor válik 0-vá, ha y-nak az x-re talált 0, ±1, ±2, ±3, ±4 értékeket adjuk, ezért (1) így írható:
(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)⋅x⋅(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(y+4)(y+3)(y+2)(y+1)⋅y⋅(y-1)(y-2)(y-3)(y-4)≧0.

A bal oldali kifejezésnek nincs értelme azoknak a pontoknak a koordinátáival, amelyekkel az N nevező 0-vá válik. Ez azokra a pontokra teljesül, amelyekkel N valamelyik tényezője 0, pl. ha y+4=0, tehát ha y=-4, és így, ha a pont ordinátája a -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 számok valamelyike. Ha az ordináta e kiemelt értékektől különböző, akkor N≠0.
 

 

A mondott pontok az x tengellyel párhuzamos, az ábra vékony, szaggatott vonallal rajzolt v1, v2, ..., v9 egyeneseinek pontjai; v5 maga az x tengely.
A v1 alatti pontokra nézve y<-4, itt N negatív, mert mind a 9 tényezője negatív; a v1 és v2 közötti pontokban -4<y<-3, N pozitív, mert y+4>0, a többi 8 tényező negatív. Minden egyes v egyenes átlépésével N előjele ellentétesre fordul, mert egy tényezőjének előjele ellentétesre változik, a többi tényező előjele pedig változatlan marad; v9 átlépésével N>0, mert mindegyik tényezője pozitív.
Hasonlóan az S számláló értéke a koordináta-rendszer
x-a,a=-4,-3,...,3,4
egyenletű egyenesein (az ábra f1, f2, ..., f9 függőleges egyenesén) levő pontok koordinátáival 0, és S előjele f1-től balra negatív, jobbra haladva minden egyes f-egyenes átlépése után ellentétesre fordul és f9-től jobbra pozitív.
Mind a v-jelű, mind az f-jelű egyenesek a síkot két félsíkra és köztük párhuzamos síksávokra osztják. A két felosztás egyidejű figyelembevételével végtelenbe nyúló síknegyedek, félsávok és egységnyi oldalú négyzetek keletkeznek. Az eddigiek alapján könnyen leírhatjuk az egyes síkrészekben S/N előjelét ‐ hiszen az eddigiek szerint az előjel minden síkrészben, állandó ‐ és evvel az (1)-et teljesítő pontok keresett halmazát.
(1) az f-egyeneseken levő pontokban úgy teljesül, hogy egyenlőség áll, kivéve természetesén a v-egyenesekkel való (üres karikával jelölt) metszéspontokat. (1) a ,,>'' jellel teljesül azoknak a síkrészeknek a belső pontjaiban, amelyeknek a két felosztás szerinti sávjában, ill. félsíkjában N és S ugyanolyan előjelű ‐ az ábrán e síkrészeket vonalkáztuk. A vonalkázott síkrészekhez hozzászámítandó 2, ill. 1 függőleges határoló szakaszuk vagy félegyenesük minden belső pontja (azaz végpontok nélkül), viszont nem számítandók hozzájuk a vízszintes határoló szakaszok, félegyenesek, végpontjaikkal együtt. A vonalkázatlan síkrészek belső pontjaiban S és N ellentétes előjelű, ezekben (1) nem teljesül.