Kezdőlap


Feladat:	1195. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bíró Oszkár , Herczegh Attila
Füzet:	1968/november, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek grafikus megoldása, Abszolútértékes egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 1195. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. (1) bal oldala nem negatív, ezért jobb oldala sem: $5 - y \geq 0$ így pedig (2) bal oldalának első tagja egyenlő (1) bal oldalával. A két egyenletet összeadva $y$ kiesik:

\begin{matrix} 3 \cdot | x - 3 | = x + 5. \end{matrix}

Innen, aszerint, hogy

\begin{matrix} x < 3, ill. x \geq 3, \\ 3 (3 - x) = x + 5, 3 (x - 3) = x + 5 \\ x_{1} = 1, x_{2} = 7. \end{matrix}

Így pedig (1) alapján

\begin{matrix} y_{1} = 3, y_{2} = 1, \end{matrix}

tehát az egyenletrendszert két

x

y

értékpár elégíti ki.
Herczegh Attila (Budapest, Könyves Kálmán Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Ábrázoljuk egyenleteinket az

x

y

derékszögű koordináta-rendszerben. (1) az

x - 3 < 0

esetben az

y = x + 2

, az

x - 3 \geq 0

esetben pedig az

y = 8 - x

alakot veszi fel. A két félegyenes közös kezdőpontja az

x = 3

y = 5

pont (az ábrán a vastagon rajzolt törött vonal).

(2) bal oldalán nem állhat mindkét tagban nem negatív szám, különben ugyanis a

- 8 = 0

ellentmondásra jutunk. Az egyenlet alakja

\begin{matrix} x - 3 \geq 0 & és & y - 5 < 0 & esetén & y = 1, \\ x - 3 < 0 & és & y - 5 < 0 & esetén & y = 4 - x, \\ x - 3 < 0 & és & y - 5 \geq 0 & esetén & x = - 1, \end{matrix}

az ábrázolásban két félegyenes csatlakozik egy szakasz két végpontjához, a

(3

1)

-hez és

(- 1

4)

-hez (az ábrán vastag szaggatott vonallal rajzolva; a vékony szaggatott vonalak az

x - 3

és

y - 5

kifejezések

4

-féle előjelvariációjának megfelelő síkrészeket választják el).
A két törött vonalnak két közös pontja van, ezek koordináta-párjai adják egyenletrendszerünk megoldásait:

\begin{matrix} M_{1} -ből x_{1} = 1, y_{1} = 3, M_{2} -ből x_{2} = 7, y_{2} = 1. \end{matrix}

Bíró Oszkár (Budapest, XI. ker., Váli úti Ált. Isk. 8. o. t.)