Feladat: 1193. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1968/november, 152 - 153. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Körülírt kör, Felület súrolása, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/március: 1193. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Ha az ABC háromszög a belsejében vagy a kerületén tartalmazza a köréje írt k kör O középpontját, akkor tartalmazza ennek OA sugarát is, ez viszont O körül forgatva k egész területét súrolja. Így a háromszög nem tartalmazhatja O-t, vagyis tompaszögű, továbbá k-nak nem súrolt része egy a k-val koncentrikus kör belseje.
k sugarát r-rel jelölve a nem súrolt kör területe πr2/5, így sugara r/5 nyilvánvalóan ennyi a háromszög leghosszabb, mondjuk AB oldalának O-tól való távolsága, az oldal hossza pedig

c=2r2-(r5)2=45⋅r.
Ez egyenlő pl. egy r, 2r befogókkal bíró derékszögű háromszögben a 2r befogónak az átfogón levő vetületével, tehát megszerkeszthető.
II. Az adott d különbség kétféleképpén értelmezhető: 1. mint AB és a C-ben összefutó oldalak egyikének, mondjuk CB-nek különbsége, 2. a CA, CB oldalak különbsége.
Az 1. értelmezés esetén, mivel AB a legnagyobb oldal, d=AB-BC, így BC=AB-d, tehát A-ból B felé fölmérve az AD=d szakaszt, C-t kimetszi k-nak rövidebb AB ívéből a B körül BD sugárral írt körív (1. ábra).
 

 

1. ábra            2. ábra
 

A 2. értelmezés esetében lényegében azt az alapszerkesztést alkalmazhatjuk, amikor adott a háromszög egy oldala, további két oldalának különbsége és az utóbbiak közti szög, hiszen AB-nek k-ban való elhelyezése után γ(>90∘) ennek látószöge a rövidebb AB ív pontjaiból. Eszerint egy 90∘+γ/2 nagyságú, E* csúcsú szög egyik szárára fölmért d szakasz A* végpontja körüli c sugarú körívvel kimetsszük a másik szárból B*-ot, végül E*B* felező merőlegesével az A*E* egyenesből C*-ot, ekkor A*B*C* az előírásoknak eleget tevő háromszög (2. ábra).
III. A szerkesztések helyessége nyilvánvaló, a megoldás mindegyik értelmezés esetében (vagyis ha már megállapodtunk d értelmezésében) a szimmetriától eltekintve egyértelmű, és végrehajtható, ha d kisebb az adódott c oldalnál.