Kezdőlap


Feladat:	1192. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szendrei Ágnes , Török Gyula
Füzet:	1969/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körök, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1192. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azok a $C$ pontok, amelyekre az $A C$ szakasz felező merőlegese átmegy $E$ -n, $E$ -től $E A$ távolságra vannak. Megfordítva, az $E$ középpontú, $A$ -n átmenő $k_{C}$ kör minden, az $A$ -tól különböző $C$ pontjára teljesül is ez a feltétel. Mégis ki kell zárnunk az $A$ -val átellenes pontot is, mert az $A B C$ háromszög $C$ csúcsa nem lehet az $A A_{0}$ súlyvonalon.

D

pont alapján meg tudjuk határozni azoknak a pontoknak az

m_{B}

mértani helyét, amelyek megfelelnek

B

csúcsként. És mivel még

C

B

-nek

A_{0}

-ra vonatkozó tükörképe, azért

m_{B}

-nek

A_{0}

-ra vonatkozó tükörképe szintén tartalmazza a

C

csúcsot, így ennek a

k_{C}

-vel közös pontjai megadják a megfelelő

C

csúcsokat, továbbá ezeknek

A_{0}

-ra vonatkozó tükörképei rendre a hozzájuk tartozó

B

csúcsot.
A

D

pont egyszersmind az

A A_{0} B

háromszög

B

-ből induló belső szögfelezőjének is

A A_{0}

-lal való metszéspontja, ezért a

B

-ből induló (ismeretlen) oldalak

B A : B A_{0}

aránya egyenlő az

A A_{0}

oldalon keletkezett, ismert szakaszok

D A : D A_{0} = k

arányával. Így

m_{B}

azon pontok mértani helye, amelyekre nézve az adott

A

A_{0}

pontoktól mért távolságok aránya egyenlő két adott szakasz arányával.
Mármost ha

k = 1

, vagyis

D

éppen felezi az

A A_{0}

szakaszt, akkor e szakasz felező merőlegese adja

m_{B}

-t. Ha pedig

k \neq 1

, akkor, mint ismeretes,

m_{B}

egy kör, éspedig az

A

A_{0}

alappontokhoz és a

k

arányértékhez tartozó ún. Apollóniosz-féle kör. Pontosabban véve: sem a felező merőlegesnek, sem az Apollóniosz-körnek nem felel meg az adott pontokat tartalmazó

g

egyenesen levő

D

, ill.

D

és

D'

pontja, hiszen a keresett háromszög

B

csúcsa sem lehet rajta az

A A_{0}

súlyvonalon; viszont minden más pontjuk megfelel

B

-ként.
Ezzel a feladatot megoldottuk, csupán

k \neq 1

esetére az

m_{B}

kör egy megszerkesztési módját idézzük emlékezetbe. Elég az említett

D'

pontot megszerkeszteni, mert

D D'

m_{B}

-nek átmérője (hiszen a középpontja

g

-n van; ha ugyanis egy

B

pont eleget tesz a

B A : B A_{0} = k

feltételnek, akkor ugyanez a

g

-re vonatkozó tükörképére is áll). Húzzunk

A

-ból egy a

g

-hez hajló

h

félegyenest és fordítsuk rá

A

körül a

D

pontot a

H

helyzetbe, majd az

A_{0}

-on átmenő,

h

-val párhuzamos és egyirányú

h_{0}

félegyenesre fordítsuk rá

A_{0}

, körül

D

-t a

H_{0}

helyzetbe, ekkor

D'

-t a

H H_{0}

egyenes metszi ki

g

-ből. (

k \neq 1

miatt

A H \neq A_{0} H_{0}

H H_{0}

nem párhuzamos

g

-vel,

D'

mindig létrejön.)
A fentiek szerint

C

megfelelő helyzeteit

m_{B}

-nek

A_{0}

-ra vett

m_{B}^{*}

tükörképe metszi ki

k_{C}

-ből. A megfelelő pontok száma

2

vagy

0

, ugyanis

k_{C}

és

m_{B}^{*}

érintkezése esetén nincs megoldás, hiszen csak

g

valamely pontjában érinthetnék egymást, az ilyen pontokat pedig kizártuk. Metszés esetén mindkét

C

-helyzetet elfogadjuk ‐ bár egymás képei

g

-re vonatkozóan ‐, mert helyzet-adatokból indultunk ki, ezért

B

és

C

helyzete volt megszerkesztendő, másrészt

B

és

C

szerepe nem cserélhető fel.
Minthogy a feladatot kizárólag mértani helyek megszerkesztésére vezettük vissza, azért nincs szükség annak külön bizonyítására, hogy a kapott

A B C

háromszögek megfelelnek a követelményeknek.
Az adott pontok közül

D

csak az

A A_{0}

szakasz belső pontja lehet,

E

viszont

g

-nek bármely, az

A

-tól különböző pontja. Amennyiben

E

azonos

A_{0}

-lal, akkor a háromszög

A

-nál derékszögűnek adódik, hacsak

D A : D A_{0} < 2

Török Gyula (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)

Szendrei Ágnes (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn.)