Kezdőlap


Feladat:	1191. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1969/január, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1191. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $A B C D = N$ négyszög konvexsége miatt az $A C$ , $B D$ átlók $M$ metszéspontja $N$ belsejében van, a kérdéses négy háromszög $M A B$ , $M B C$ , $M C D$ , $M D A$ . Ezek $S_{A}$ , $S_{B}$ , $S_{C}$ , $S_{D}$ súlypontját rendre megkaphatjuk úgy, hogy vesszük az $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ oldal $A_{0}$ , $B_{0}$ , $C_{0}$ , ill. $D_{0}$ felezőpontját, majd az $M A_{0}$ , $M B_{0}$ , $M C_{0}$ , $M D_{0}$ szakaszon kijelöljük az $M$ -től távolabbi harmadolópontot.

Eszerint a 4 súlypont által meghatározott

N_{S}

négyszög

2 : 3

arányú kicsinyítettje az

A_{0} B_{0} C_{0} D_{0} = N_{0}

négyszögnek

M

-ből mint középpontból, így területeik aránya

4 : 9

.
Másrészt

N_{0}

és

N

területeinek aránya

1 : 2

, mert

N

-nek

N_{0}

-on kívül eső 4 háromszög alakú része rendre egyenlő az

M A_{0}

M B_{0}

M C_{0}

M D_{0}

súlyvonalakkal négy háromszögre osztott

N_{0}

megfelelő (ti. szomszédos) részével, pl. a közös alapú

B A_{0} B_{0}

és

M A_{0} B_{0}

háromszögek magassága is egyenlő, hiszen

A_{0} B_{0}

az ABC háromszög középvonala, és

M

A C

szakaszon van.
Ezek szerint

N_{S}

területe az

N

területének

\begin{matrix} \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2}{9} \end{matrix}

része.