Kezdőlap


Feladat:	1188. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pető János
Füzet:	1968/november, 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1188. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalát szorzattá alakíthatjuk, ugyanis az első $3$ tagból $x^{6}$ -ot, a további $3$ -ból $- 64$ -et kiemelve a két zárójelben ugyanaz a polinom adódik:

\begin{matrix} x^{6} (x^{4} - 5 x^{2} + 4) - 64 (x^{4} - 5 x^{2} + 4) = (x^{6} - 64) (x^{4} - 5 x^{2} + 4), \end{matrix}

így (1) gyökei mindazok az

x

értékek, amelyek mellett a két tényező közül legalább az egyiknek az értéke

0

, vagyis amelyekre

\begin{matrix} vagy x^{6} - 64 = 0, & (2) \\ vagy x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0. & (3) \end{matrix}

(2) bal oldala az

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

azonosság alapján tovább bontható:

\begin{matrix} x^{6} - 64 = {(x^{2})}^{3} - 4^{3} = (x^{2} - 4) (x^{4} + 4 x^{2} + 16), \end{matrix}

tehát (2) teljesül, ha

\begin{matrix} x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2) = 0, és ha & (4) \\ x^{4} + 4 x^{2} + 16 = {(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2} = (x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} + 2 x + 4) = 0. & (5) \end{matrix}

(3) pedig így írható:

\begin{matrix} (x^{4} - 4 x^{2}) - (x^{2} - 4) = (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) = (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0. \end{matrix}

eszerint gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = - 1, x_{2} = 1, x_{3} = - 2, x_{4} = 2. \end{matrix}

(6)

(4) nem ad új gyököt, mert csak a talált

x_{3}

-ra és

x_{4}

-re teljesül, (5)-nek pedig nincs (valós) gyöke; mert bal oldalának mindkét tényezője minden (valós)

x

-re pozitív:

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 4 = {(x - 1)}^{2} + 3 > 0, \\ x^{2} + 2 x + 4 = {(x + 1)}^{2} + 3 > 0. \end{matrix}

Ezek szerint (1) gyökei a (6) alatti számok.

Pető János (Budapest, Kölcsey F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1.

x_{3}

és

x_{4}

kétszeres gyöke (1)-nek, ugyanis a többszöri felbontás alapján (1) bal oldala így írható:

\begin{matrix} (x + 1) (x - 1) {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} (x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} + 2 x + 4) . \end{matrix}

2. A (2) bal oldalát az idézett azonosság alapján így is bonthatjuk:

\begin{matrix} x^{6} - 64 = (x^{3} - 8) (x^{3} + 8) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) . \end{matrix}