Kezdőlap


Feladat:	1187. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csikvári András , Dettai István
Füzet:	1969/március, 106 - 108. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Műveletek polinomokkal, Polinomok négyzetösszege, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1187. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Célszerű lesz általában megállapítani, hogy két elsőfokú kifejezés négyzetének az összege milyen feltétel mellett egyenlő egy elsőfokú kifejezés négyzetével, mert ezt mindegyik kérdésre adandó válaszban felhasználhatjuk. Legyen tehát $α$ , $β$ , $γ$ , $δ$ tetszés szerinti négy szám, és vizsgáljuk az

\begin{matrix} {(α x + β)}^{2} + {(γ x + δ)}^{2} = (α^{2} + γ^{2}) x^{2} + 2 (α β + γ δ) x + β^{2} + δ^{2} \end{matrix}

polinomot. Ha itt

α = γ = 0

, akkor egy nem negatív konstanssal van dolgunk, ami valóban egy konstans négyzete. Ha nem ez az eset, akkor egészítsük ki teljes négyzetté a kifejezést:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{α^{2} + γ^{2}} x + \frac{α β + γ δ}{\sqrt[]{α^{2} + γ^{2}}})}^{2} + β^{2} + δ^{2} - \frac{{(α β + γ δ)}^{2}}{α^{2} + γ^{2}} = {(\sqrt[]{α^{2} + γ^{2}} x + \frac{α β + γ δ}{\sqrt[]{α^{2} + γ^{2}}})}^{2} + \\ \frac{α^{2} δ^{2} + β^{2} γ^{2} - 2 α β γ δ}{α^{2} + γ^{2}} . \end{matrix}

A kifejezés akkor és csak akkor egy elsőfokú kifejezés négyzete; ha az utolsó tört

0

. Ennek számlálója

{(α δ - β γ)}^{2}

, így másodfokú polinomunk akkor és csak akkor egy elsőfokúnak a négyzete, ha

\begin{matrix} α δ = β γ . \end{matrix}

(4)

(Ez teljesül az

α = γ = 0

esetben is, így pontosabban ,,legfeljebb másodfokú'' és ,,legfeljebb elsőfokú'' polinomot kell mondanunk.)
a) Az (1) alatti első kifejezésben

\begin{matrix} α = 1, β = 3, γ = 7, δ = p, \end{matrix}

így (4) a

p = 21

értéket adja. A második kifejezés esetében

\begin{matrix} α = 3, β = 5, γ = p, δ = q, \end{matrix}

s így (4)-ből

3 q = 5 p = 105

, azaz

q = 35

. Valóban

\begin{matrix} {(x + 3)}^{2} + {(7 x + 21)}^{2} = {(\sqrt[]{50} x + 3 \sqrt[]{50})}^{2} és \\ {(3 x + 5)}^{2} + {(21 x + 35)}^{2} = {(3 \sqrt[]{50} x + 5 \sqrt[]{50})}^{2} . \end{matrix}

b) A (2) alatti mind a két kifejezés (4) szerint akkor és csak akkor egy-egy legfeljebb elsőfokú kifejezés négyzete, ha

\begin{matrix} a B = b A és b C = c B . \end{matrix}

A két feltételt összeszorozva

\begin{matrix} a b B C = b c A B, azaz b B (a C - c A) = 0. \end{matrix}

Mivel feltétel szerint

b

és

B

nem

0

, így

\begin{matrix} a C - c A = 0, a C = c A, \end{matrix}

és ebből (4) alapján következik, hogy a (3) kifejezés is egy legfeljebb elsőfokú kifejezés négyzete.

Csíkvári András (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Vizsgáljuk

x

-nek az egyes kifejezések által előállított függvényét, és azt, hogy ezek hogyan válhatnak

0

-vá. Két négyzet összege csak úgy lehet

0

, ha mind a két négyzet

0

, másrészt egy elsőfokú kifejezés négyzete eltűnik arra az

x

értékre, amelyre az alap

0

lesz. A feladat tehát azt kívánja mindegyik esetben, hogy a két-két összeadott négyzet alapja ugyanarra az

x

értékre tűnjön el.
a) Az (1) alatti első, ill. második kifejezés esetében a megfelelő

x

értékek

\begin{matrix} x_{1} = - 3 = - \frac{p}{7} és x_{2} = - \frac{5}{3} = - \frac{q}{p}, \end{matrix}

és innen, mint az első megoldásban is, a

\begin{matrix} p = 21, q = \frac{5}{3} p = 35 \end{matrix}

értékek adódnak.
b) A (2) alatti kifejezések esetében ezek az értékek

\begin{matrix} x_{3} = - \frac{b}{a} = - \frac{B}{A} és x_{4} = - \frac{c}{b} = - \frac{C}{B} . \end{matrix}

Ha ezek az összefüggések fennállnak, akkor összeszorzással innen

\begin{matrix} \frac{c}{a} = \frac{C}{A} \end{matrix}

adódik. E két tört közös értékét

λ

-val jelölve, és

c

-t, ill.

C

-t innen kifejezve a (3) polinom így alakul:

\begin{matrix} {(λ a x + a)}^{2} + {(λ A x + A)}^{2} = {[\sqrt[]{a^{2} + A^{2}} (λ x + 1)]}^{2}, \end{matrix}

ami valóban egy elsőfokú kifejezés négyzete.

Dettai István (Pannonhalma, Bencés Gimn., II. o. t.) dolgozatának felhasználásával