Kezdőlap


Feladat:	1186. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1969/március, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 1186. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Legyen az út vízszintes szakasza $x$ km, a $B$ felé emelkedő, ill. lejtő szakasz $y$ , ill. $z$ km, így $A$ felé $z$ km az emelkedő és $y$ km a lejtő. Az egyes szakaszok megtételével eltöltött időket az idő $= \frac{út}{sebesség}$ összefüggés alapján kifejezve a három ismeretlenre csupán két egyenletet állíthatunk fel:

\begin{matrix} \frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 2, 3, \frac{x}{4} + \frac{y}{6} + \frac{z}{3} = 2, 6. \end{matrix}

Az útvonal

s = x + y + z

hosszát azonban mégis pontosan megadhatjuk, mert a két egyenletet összeadva

x

y

és

z

együtthatója egyenlőnek adódik:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (x + y + z) = \frac{s}{2} = 4, 9, s = 9, 8 km . \end{matrix}

Az útvonal egyes szakaszainak hosszát külön-külön nem állapíthatjuk meg, de kiszámíthatjuk a

z - y

különbséget, a második egyenletből az elsőt kivonva

\begin{matrix} \frac{1}{6} (z - y) = 0, 3, z - y = 1, 8 km, \end{matrix}

vagyis

B

felé

1, 8

km-rel több a lejtő.

II. A második esetben a távolságok fenti jele mellé megkülönböztetésül vesszőt írunk. Két egyenletünk, majd összegük így alakul

\begin{matrix} \frac{x'}{4} + \frac{y'}{3} + \frac{z'}{5} = 2, 3, & (1) \\ \frac{x'}{4} + \frac{y'}{5} + \frac{z'}{3} = 2, 6, & (2) \\ \frac{x'}{2} + \frac{8}{15} (y' + z') = 4, 9. & (3) \end{matrix}

Itt

s'

-t nem állapíthatjuk meg egyértelműen, de korlátokat adhatunk az értékére.
Alsó korlátot kapunk, ha

x'

együtthatóját annyira növeljük, mint

y'

és

z'

közös együtthatója, mert így a bal oldalt növeljük:

\begin{matrix} \frac{8}{15} (x' + y' + z') = \frac{8 s'}{15} > 4, 9, s' > 9 \frac{3}{16} km . \end{matrix}

Csak akkor lehetne egyenlő

s'

a kapott alsó korláttal, ha a változtatással nem növeltünk volna, azaz ha

x' = 0

volna, azaz ha nem volna az úton vízszintes szakasz; ezt azonban a feladat kizárta.

s'

felső korlátja céljára megállapítjuk a

z' - y'

különbséget. (2)-ből (1)-et kivonva

\begin{matrix} \frac{2}{15} (z' - y') = 0, 3, z' = y' + 2, 25 km . \end{matrix}

Ezzel (3) így alakul:

\begin{matrix} \frac{x'}{2} + \frac{8}{15} \cdot 2 y' + \frac{8 \cdot 2, 25}{15} = 4, 9, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{x'}{2} + \frac{8}{15} \cdot 2 y' = 3, 7, \end{matrix}

(4)

és az útvonal hossza

s' = x' + 2 y' + 2, 25

. Mármost (4)-ben

2 y'

együtthatóját annyira csökkentve, mint

x'

együtthatója, a bal oldalt csökkentjük:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (x' + 2 y') < 3, 7, x' + 2 y' < 7, 4, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} s' < 9, 65 km . \end{matrix}

Csak akkor lehetne egyenlő

s'

a kapott felső korláttal, ha

y' = 0

volna ‐ azaz ha

B

felé nem volna emelkedő ‐, ezt azonban a feladat kizárta. Ezek szerint

\begin{matrix} 9, 1875 km < s' < 9, 65 km . \end{matrix}

Megjegyzés. Az első esetben a vízszintes úton kifejtett

v_{0}

sebesség az emelkedőn, ill. lejtőn kifejtett

v_{e}

, ill.

v_{i}

sebességnek éppen harmonikus középarányosa:

\begin{matrix} \frac{1}{v_{0}} + \frac{1}{v_{0}} = \frac{1}{v_{e}} + \frac{1}{v_{i}}, v_{0} = \frac{2 v_{e} v_{i}}{v_{e} + v_{i}} . \end{matrix}

Ez a magyarázata annak, hogy az út hosszúságára pontos értéket kaptunk. Lényegében az a helyzet, hogy a második számítás szerinti alsó és felső korlát az első esetben egymással egyenlőnek adódnék.