Kezdőlap


Feladat:	1185. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Reviczky János , Székely Judit
Füzet:	1969/február, 63 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Szerkesztések a térben, Szögfüggvények a térben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1185. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $e$ -nek $S$ -en levő döféspontja $D$ , egy ettől különböző pontja $E$ , és ennek (merőleges) vetülete $S$ -en ‐ vagyis $e'$ -n ‐ az $E'$ , $f$ -en az $F$ pont.

1. ábra

Így

D E E'

és

D E F

derékszögű háromszögek,

E D E' ∢ = 40^{\circ}

E D F ∢ = 49^{\circ}

, és az

E' D F ∢ = x

szöget kell meghatároznunk.
Alább megmutatjuk, hogy az

x

-et tartalmazó

E' D F

háromszög

F

-nél levő szöge derékszög. Ennek alapján

\begin{matrix} cos x = \frac{D F}{D E'} = \frac{D E cos 49^{\circ}}{D E cos 40^{\circ}} = \frac{cos 49^{\circ}}{cos 40^{\circ}} = \frac{0, 6561}{0, 7660} = 0, 8562, \\ x = 31^{\circ} 6' . \end{matrix}

A felhasznált állítás bizonyítására tekintsük

D

-nek

F

-re való

D_{1}

tükörképét. Ekkor

E F ⊥ F D

miatt

E D D_{1}

egyenlő szárú háromszög,

E D_{1} = E D

. Megrajzolva a

D_{1} E'

egyenest, ez merőleges

E E'

-re, hiszen benne van

S

-ben, mert

D_{1}

is az

S

-ben van. Ezért a közös befogójú

E D_{1} E'

és

E D E'

derékszögű háromszögek egybevágók,

E' D_{1} = E' D

, így pedig

E D D_{1}

egyenlő szárú háromszög, és

E' F

felezi a

D D_{1}

alapot, tehát merőleges rá. ‐ Támaszkodtunk az egyenes és sík merőleges voltának definíciójára: ha egy egyenes merőleges egy síkra, akkor merőleges annak minden egyenesére.

Székely Judit (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Az I. megoldásban felhasznált

D

E

E'

F

pontok egy háromoldalú gúlát határoznak meg, ennek hálózatát rajzoljuk meg és benne megmérjük a keresett

x

szöget.

2. ábra

Felvéve a

D E

él hosszát, efölé mint átfogó fölé két oldalán 1‐1 derékszögű háromszöget rajzolunk,

D

-nél

40^{\circ}

, ill:

49^{\circ}

szöggel (

2

. ábra, Thalész-kör,

D E E' =

I. és

D E F =

II. háromszög). Ezután

E E'

mint befogó fölött

E E' F =

III. derékszögű háromszöget szerkesztünk, melynek átfogója a II-ben kapott

E F

. Végül az I.-beli

D E'

-ből, a II.-beli

D F

-ből és a III.-beli

E' F

-ből megszerkesztjük a

D E' F =

IV. háromszöget. Ebben mérés szerint

\begin{matrix} x = F D E' ∢ \approx 31^{\circ} . \end{matrix}

(Másrészt a

D F E'

szöget megmérve,

90^{\circ}

-nak találjuk.)

Reviczky János (Budapest, Alsóerdősor utcai Ált. Isk., 8. o. t.)