A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) A keresett négyzet további két csúcsát -vel, -vel jelöljük, minden más betű előkészítő (segéd-)pontokat jelöl. Megoldottuk a feladatot, ha sikerül a négyzet és átlója céljára hosszúságú szakaszt szerkeszteni. Könnyen tudunk hosszúságot szerkeszteni, ekkora pl. az és a középpontú, sugarú körök közös húrja. Most már a alapú, szárú egyenlő szárú háromszög magassága a keresett távolságot nyújtja. Ez szintén megszerkeszthető csak körzővel. A szerkesztés aránylag kevés körrel a következő módon hajtható végre.
1. ábra Legyen az pont körüli, sugarú kör ‐ röviden: az kör ‐ és a kör két metszéspontja , (1. ábra), továbbá és az kör -től különböző metszéspontja , az és körök egyik metszéspontja . Ekkor -t -ből az kör metszi ki, pedig és a kör metszéspontja. (Elég -ként az egyik metszéspontot venni, mert a másik metszéspont az elsőnek a tükörképe az egyenesre nézve.) A szerkesztés szerint és egyenlő oldalú háromszögek, , eszerint a -be írt egyenlő oldalú háromszög oldala, ezért is az, , tehát a pont tükörképe -ra nézve. Így a háromszög egyenlő szárú, és alapjának felezőpontja , ezért . Továbbá rombusz, emiatt , , ezért az derékszögű háromszögben , vagyis ; eszerint megfelel a követelménynek, pedig paralelogrammává, négyzetté egészíti ki az egyenlő szárú derékszögű háromszöget. b) A szabályos -szöget az előbbi négyzet felhasználásával abból szerkesztjük, hogy egy szöge , tehát -vel, -val szomszédos , ill. csúcsa a , ill. oldal fölé kifelé szerkesztett szabályos háromszög csúcsa (2. ábra).
2. ábra További csúcsai legyenek , , , . Az csúcs már ki van tűzve, mint és metszéspontja. Legyen az és körök -hez közelebbi metszéspontja , ekkor az kör a , és körből kimetszi rendre az , , pontot, -ből pedig az az -öt, az -et, végül és az , , , csúcsot. E lépéseket az indokolja, hogy a -szög köré írt körnek beírt szabályos hatszöge, ezért a kör középpontjából szögben látszódik, ennek megfelel , és a körülírt kör . Úry László (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.) Megjegyzések. 1. -et a pont felhasználása nélkül is megkaphatjuk abból, hogy egyenlő szárú derékszögű háromszög, a szükséges körívek száma így is . (A -be írt szabályos hatszög csúcsait használjuk fel, -t kimetszi , -t és -t pedig az kör.) 2. -t tekinthetjük az és ívek, -et pedig az , ívek felezőpontjának is. Az ezeket kijelölő eljárás általánosításaként megemlítjük, hogyha adott egy körív és az ezt tartalmazó kör középpontja, akkor körző használatával kijelölhető az ív felezőpontja (2. ábra): az , pontokkal mint negyedik csúccsal paralelogrammává egészítjük ki az , háromszögeket, az -sel felezett szakasz fölött szárral egyenlő szárú háromszöget szerkesztünk, végül a ívet metsszük az körrel, a metszéspont . A bizonyítást az olvasóra hagyjuk. Váli László (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.) 3. A most mondott ívfelezés néhány előkészítő lépés után végrehajtható akkor is ‐ szintén kizárólag körző használatával ‐, ha csak a ív adott, de tudjuk, hogy az egy kör része (körív hiányzó középpontjának megszerkesztése, ún. Napóleon-szerkesztés). 4. Az érdeklődők az 1294. feladatban ‐ K. M. L. 29 (1964) 136. o. ‐ megtalálhatják a szabályos ötszög csúcsainak csak körzővel való megszerkesztését, ha adott két szomszédos vagy két másodszomszédos csúcsa. Paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő oldalainak négyzetösszegével, lásd legutóbb az 1040. gyakorlatban, K. M. L. 33 (1966) 152. o. |