Kezdőlap


Feladat:	1182. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Láng István , Simon Júlia
Füzet:	1969/január, 20 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1182. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett háromszög $A B C$ , melynek az $A$ csúcsából kiinduló $A D = f$ szögfelezője és az $A B = c (> A C)$ oldala, valamint a $C$ és $B$ csúcsoknál levő $γ$ és $β$ szögek $γ - β = δ$ különbsége adott. $A D B$ szög az $A C D$ háromszögnek külső szöge, így

\begin{matrix} A D B ∢ = γ + \frac{α}{2} . \end{matrix}

Hasonlóan

\begin{matrix} A D C ∢ = β + \frac{α}{2}, \end{matrix}

és mivel ezek egymás kiegészítő szögei,

\begin{matrix} A D B ∢ = \frac{180^{\circ} - (β + \frac{α}{2}) + (γ + \frac{α}{2})}{2} = 90^{\circ} + \frac{γ - β}{2} = 90^{\circ} + \frac{δ}{2} . \end{matrix}

Eszerint az

A B D

háromszögben adott két oldal, és ismert a nagyobbikkal szemben fekvő szög, így a háromszög megszerkeszthető.

1. ábra

Ezek alapján a keresett háromszöget úgy szerkesztjük meg, hogy a tetszőleges állású

A D

szakaszra

D

végpontjában felmérjük az

ω = 90^{\circ} + \frac{δ}{2}

szöget, ennek szárából az

A

középpontú,

c

sugarú kör metszi ki a

B

csúcsot. Végül az

A B

egyenest az

A D

egyenesre tükrözve kapjuk a háromszög

A C

oldalegyenesét, ez a

B D

egyenesből kimetszi a

C

csúcsot.
A kapott háromszögben

A D

A B

előírt hosszúságú, és a tükrözés miatt

A D

szögfelező, és a fenti elemzés alapján a szögek különbsége

\begin{matrix} γ - β = 2 ω - 180^{\circ}, \end{matrix}

tehát valóban az előírt

δ

szög.
A szerkesztés végrehajtható, ha

c > f

, és

δ < 180^{\circ}

, egyetlen megoldást kapunk. ‐ Az eljárás

δ = 0^{\circ}

, azaz egyenlő szárú háromszög esetén is érvényes.

Simon Júlia (Győr, Kazinczy F. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Lényegében ugyanerre a megoldásra jutunk az

A

-ból induló

A A'

magasság berajzolásával.

2. ábra

Ekkor, a

D A A' ∢

γ \leq 90^{\circ}

esetben a

D A C

és

C A A'

szögek különbsége:

\begin{matrix} D A C ∢ - C A A' ∢ = \frac{α}{2} - (90^{\circ} - γ) = \frac{180^{\circ} - β - γ}{2} - (90^{\circ} - γ) = \frac{γ - β}{2} = \frac{δ}{2}, \end{matrix}

γ > 90^{\circ}

esetén pedig az összegük:

\begin{matrix} \frac{180^{\circ} - β - γ}{2} + (γ - 90^{\circ}) = \frac{δ}{2} . \end{matrix}

Eszerint

A D

-re

A

-ban felmérve

δ / 2

-t, megkapjuk az

A A'

egyenest, és erre a

D

-ből állított merőleges a

B C

oldal egyenese.

Láng István (Székesfehérvár, Petőfi S. Ált. Isk. 8. o. t.)