Kezdőlap


Feladat:	1181. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Gáspár Gyula
Füzet:	1968/december, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1181. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Képezzük az (1) sorozat $a_{n}$ és $a_{n + 2}$ tagja számtani közepének felét, így az állítás szerint $a_{n + 1}$ -et kell kapnunk. Valóban,

\begin{matrix} \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{4} = \frac{1}{8 \sqrt[]{3}} [{(2 + \sqrt[]{3})}^{n + 2} + {(2 + \sqrt[]{3})}^{n}] - \frac{1}{8 \sqrt[]{3}} [{(2 - \sqrt[]{3})}^{n + 2} + {(2 - \sqrt[]{3})}^{n}] = \\ = \frac{{(2 + \sqrt[]{3})}^{n + 1}}{8 \sqrt[]{3}} [2 + \sqrt[]{3} + \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}}] - \frac{{(2 - \sqrt[]{3})}^{n + 1}}{8 \sqrt[]{3}} [2 - \sqrt[]{3} + \frac{1}{2 + \sqrt[]{3}}] \end{matrix}

és itt mindkét szögletes zárójel értéke

\begin{matrix} (2 + \sqrt[]{3}) + (2 - \sqrt[]{3}) = 4, \end{matrix}

hiszen

2 + \sqrt[]{3}

és

2 - \sqrt[]{3}

egymás reciprokai; ennélfogva

\begin{matrix} \frac{a_{n} + a_{n + 2}}{4} = \frac{1}{2 \sqrt[]{3}} [{(2 + \sqrt[]{3})}^{n + 1} - {(2 - \sqrt[]{3})}^{n + 1}] = a_{n + 1}, \end{matrix}

ami a bizonyítandó állításnak az egymás utáni taghármasok közti összefüggésre vonatkozó része.
Ez a tulajdonság a sorozatot akkor határozza meg, ha ismert a sorozat két tagja is. Pl.

a_{1}

-ből és

a_{2}

-ből

a_{3} = 4 a_{2} - a_{1}

a_{4} = 4 a_{3} - a_{2}, ...

Mármost az idézett sorozat első két tagja 1 és 4 volt, (1)-ből pedig

\begin{matrix} a_{1} = \frac{1}{2 \sqrt[]{3}} [(2 + \sqrt[]{3}) - (2 - \sqrt[]{3})] = 1, \\ a_{2} = \frac{1}{2 \sqrt[]{3}} [{(2 + \sqrt[]{3})}^{2} - {(2 - \sqrt[]{3})}^{2}] = 4, \end{matrix}

tehát a két sorozat valóban azonos.

Gáspár Gyula (Miskolc, Vörösmarty úti Ált. Isk. 8. o. t.)