Kezdőlap


Feladat:	1178. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1968/november, 149. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 1178. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az adott egyenlőség bal és jobb oldala különbségének ‐ ami $0$ ‐ a $2$ -szerese alkalmas csoportosítással így alakítható:

\begin{matrix} {(a - b)}^{2} + {(a - c)}^{2} + {(b - c)}^{2} = 0 \end{matrix}

Ámde egyik tag sem negatív, ezért az egyenlőség valós számok között csak úgy állhat fenn, ha mind a három tag

0

. Ekkor pedig a kérdéses számok páronként egyenlők, az állítás igaz.

II. megoldás. Tekintsük (1)-ben

a

-t ismeretlennek,

b

-t és

c

-t paramétereknek. Ennek megfelelően rendezve

\begin{matrix} a^{2} - (b + c) a + (b^{2} - b c + c^{2}) = 0. \end{matrix}

(2)

A diszkrimináns

\begin{matrix} D = {(b + c)}^{2} - 4 (b^{2} - b c + c^{2}) = & - 3 (b^{2} - 2 b c + c^{2}) = \\ - 3 {(b - c)}^{2} . \end{matrix}

A föltevés szerint

a

valós, ezért

D \geq 0

, ami csak

b = c

esetén teljesül. Ekkor pedig (2)-t csak egy szám elégíti ki, és ez

\begin{matrix} a = \frac{b + c}{2} = \frac{2 b}{2} = b = c . \end{matrix}