Feladat: 1175. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gyimesi Ferenc ,  Lehőcz Ágnes ,  Lengyel Erzsébet ,  Terlaky Edit 
Füzet: 1968/november, 147 - 149. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középvonal, Magasságpont, Paralelogrammák, Hozzáférhetetlenségi szerkesztések síkban, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/január: 1175. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a két megjelölt pont A és B. Illesszük az E egyenes vonalzót az A pontra úgy, hogy az egyik vége kb. 1‐2 mm-re legyen A-tól, másrészt hogy az AB félegyenes várt helyzetéhez kis szöggel (legfeljebb kb. 15∘-kal) hajoljon, és rajzoljunk AC szakaszt úgy, hogy C végpontja E-nek másik végétől 1‐2 mm-re legyen (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

Ekkor 19 cm<AC<20 cm, így AB<38 cm figyelembevételével BC<20 cm, a BC szakasz is megrajzolható E felhasználásával. Meg fogjuk szerkeszteni az ABC háromszög AC, BC oldalának B1, ill. A1 felezőpontját, majd ezekből az AB oldal C1 felezőpontját, ekkor az AC1, BC1 megrajzolható szakaszok egymás meghosszabbításába esnek és együtt kiadják az AB szakaszt.
B1-et egy olyan P paralelogramma középpontjaként szerkesztjük, melynek egyik átlója AC. Állítsuk E-t úgy, hogy egyik vége 1‐2 mm-re legyen A-tól, ne fedje AC-t, és olyan szöggel hajoljon hozzá, hogy a H háromszögvonalzót E-re támasztva és rajta ide-oda csúsztatva az átfogó A-n is, C-n is átmenjen. Így A-n és C-n át megrajzolhatjuk P egyik oldalegyenes-párjának elég hosszú darabját. Ezt ismételve ‐ kb. AC-re való tükörképükként ‐ a másik oldalpárt kapjuk, s ekkor a P-nek új, P1, P2 csúcsait összekötő átló AC-ből kimetszi B1-et. Ugyanígy szerkesztjük A1-et.
Most már C1 ‐ a háromszög középvonalainak ismert tulajdonsága szerint ‐ paralelogrammává egészíti ki az A1, C, B1 pontokat, tehát megszerkeszthető, mint az AC-vel A1-en át és a BC-vel B1-en át húzott párhuzamosok metszéspontja. Az új paralelogramma oldalai kisebbek 10 cm-nél, hegyes szögei kisebbek 30∘-nál, így A1C1 és B1C1 az előbbiekhez hasonlóan megrajzolhatók.
Szerkesztésünk elvi helyessége a paralelogramma tulajdonságainak és a csúsztatással való párhuzamos-rajzolásnak ismeretében nyilvánvaló.
 

 Lengyel Erzsébet (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. Nem volt célunk számításos bizonyítást adni arra, hogy E-nek és H oldalainak hossza elegendő a leírt egyenesek megrajzolásához.
 

II. megoldás. Legyen D az előbbi ABC háromszögnek olyan belső pontja, amely a csúcsok mindegyikével összeköthető, továbbá C' a CD szakasznak D-hez közelebbi pontja (2. ábra). Messe a C'-n át CA-val, CB-vel húzott párhuzamos DA-t A'-ben, DB-t B'-ben, ekkor az A'B'C' háromszög az ABC háromszögnek kicsinyített képe a D hasonlósági középpontra nézve, a kicsinyítés aránya kisebb 1/2-nél, így az A'B' oldal ‐ ami párhuzamos a keresett AB-vel ‐ megrajzolható.
Erre támaszkodva H csúsztatásával megrajzolhatjuk az AB, valamint a BA félegyenesnek egy-egy az átfogónál nem nagyobb szakaszát, és mindkettő része az AB szakasznak.
 

 Lehőcz Ágnes (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., I. o. t.)
 

 

2. ábra           3. ábra
 

III. megoldás. Mindjárt kezdetben felhasználjuk, ami az előző megoldás végén hiány maradt, hogy megrajzolt egyenesszakaszt meghosszabbíthatunk, hiszen kijelölhetünk rajta alkalmas 2 pontot és ezekre a vonalzót új helyzetben illeszthetjük rá. Egy ilyen meghosszabbító egyenes-rész természetesen mindig kisebb a vonalzó hosszánál, viszont az eljárást elég sokszor ismételve, az egyenes tetszés szerinti hosszú szakasza kirajzolható.
Ennek alapján egy az A-ból induló félegyenest addig hosszabbítunk, hogy B-hez legközelebbi pontjának egy környezete is meg legyen rajzolva (3. ábra). Ekkor csúsztatással párhuzamost húzhatunk vele B-n át. (Szükség esetén a csúsztatást is ismételhetjük, váltakozva H befogói mentén, ferdén jobbra, ill. balra.) Megismételve ezt egy más irányú párhuzamos egyenespárral, kapunk egy AB átlójú AFBG paralelogrammát. Húzzunk továbbá F-en és G-n át az eddigiektől különböző irányú olyan párhuzamosokat, melyek metszik a BG, ill. AF szakaszt K-ban, ill. L-ben, ekkor FKGL ugyancsak paralelogramma. Az irányok alkalmas megválasztásával elérhető, hogy az FG és KL átlók közvetlenül megrajzolhatók, felezik egymást egy N pontban, és ez AFBG-nek is középpontja. Így pedig ‐ ismét az AN és NB részekből ‐ megkapjuk az AB egyenesszakaszt.
 

 Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. Mivel tudjuk, hogy az FG átló átmegy az AB szakasz N felezőpontján, elvileg egyszerűbb, ha még egy AF'BG' paralelogrammát szerkesztünk, és akkor FG, F'G' metszéspontja N. Ebben az AF, BG egyenesek kétszeri felhasználását jelentené, ha AK-t és a vele párhuzamos BL-et húznók meg. Gyakorlatilag viszont az olyan eljárás egyszerűbb, amely minél kevesebbszer használja fel egyenesszakasz meghosszabbítását.
 

IV. megoldás. A III. megoldásban látottak szerint olyan AC, BC félegyeneseket rajzolunk, hogy az ABC háromszög hegyesszögű legyen, de az ACB szög ne legyen sokkal kisebb derékszögnél (4. ábra).
 

 

4. ábra
 

Csúsztatásokkal, végül H derékszöggel való átbillentésével megrajzolhatjuk háromszögünk A-ból és B-ből induló magasságegyenesét. Ezek M metszéspontja a háromszög magasságpontja, tehát CM a harmadik magasságegyenes. Így pedig az A-n átmenő és CM-re merőleges egyenes a keresett AB (oldal-) egyenes.
 

 Terlaky Edit (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzés. A felhasználható két vonalzó rövidsége nem tette lehetővé, hogy távol fekvő pontok által meghatározott egyenest közvetlenül megrajzoljunk. Viszont egy már kijelölt egyenest tetszőlegesen meghosszabbíthatunk, és két közel fekvő pontjával adott tetszőleges egyenessel tetszőleges ponton át tudunk párhuzamost húzni, és tetszőleges egyenesre tetszőleges pontból merőlegest bocsátani. Mint láttuk, ezek a lépések már elegendők a távol fekvő pontok állal meghatározott egyenesek kerülő úton való megrajzolásához.