A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Legyen a vízszintes rétegek száma Jóska elkészült téglatestjén , Laci kockáján (, természetes számok), akkor a Jóska elképzelt téglatestjében leendő (vagyis az összes) cukordarabok számának kétféle kifejezéséből
Itt a bal oldal osztható -mal, ezért is osztható vele. Ez csak úgy lehet, ha is osztható -mal, így a jobb oldal osztható -tel, és a bal oldali szorzat osztható -cel. Mivel ennek tényezői szomszédos természetes számok, azért relatív prímek, az oszthatóság csak úgy teljesülhet, ha vagy vagy osztható -cel. Ugyanezért és további tényezője csak egy-egy egész szám köbe lehet, tehát
ahol , , , természetes szám (és így , ill. ). Az első esetben és tüstént látjuk, hogy ezt kielégíti a legkisebb szóba jövő érték, -vel együtt. Innen (1)-nek egy megoldása és , eszerint Jóska , Laci pedig db cukrot használt föl, és az utóbbiak átvétele után Jóska építménye kockát tartalmazott. Ez a válasz életszerű, mert a szokásos, kg-os dobozban a darabok száma kb. . II. Belátjuk, hogy a feladatnak nincs más, elfogadható megoldása. Az ) esetet folytatva legyen , ahol a , , számok valamelyike. Ezt (2)-be helyettesítve, átrendezéssel osztható -cel. Ezért csak lehetséges, a zárójel értéke . Ebből A bal oldal tényezői relatív prímek, ezért köbszám, és mivel a esetet már láttuk, . Így azonban , és , a két fiú által fölhasznált kockák száma | | volna, ami több, mint kg cukrot jelentene. A esetben a fentiekhez hasonlóan csak alakú szám lehet, így is, is köbszám, és , ahol , mert esetén a zárójelben nem köbszám. Így pedig ismét elfogadhatatlan alsó korlátot kapunk:
hiszen . Állításunkat bebizonyítottuk. Megjegyzés. Az , megoldáshoz elvezet a következő meggondolás is. (1) bal oldala páros, emiatt osztható -tal is. helyettesítéssel (1)-nek -re való pozitív megoldása és mindjárt látjuk, hogy a diszkrimináns esetén négyzetszám. |