Kezdőlap


Feladat:	1172. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Sailer Kornél , Vargha Ágnes
Füzet:	1968/november, 143 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani sorozat, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/január: 1172. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. I. Megmutatjuk, hogy előállíthatók olyan természetes számpárok, amelyek eleget tesznek a kívánt sorozat szomszédos tagjaira előírt követelménynek, továbbá hogy minden ilyen pár nagyobbik tagja egyenlő egy másik pár kisebbik tagjával. Ebből már következik, hogy egy megfelelő számpárból kiindulva úgy kapunk egy az előírást kielégítő, tetszés szerinti számú tagot tartalmazó számsorozatot, hogy nagyobbik számát a következő pár kisebbik tagjának vesszük, hozzá képezzük a nagyobbik tagot és ezt az eljárást ismételjük a tagok kívánt számának eléréséig.
Legyen a számpár nagyobbik és kisebbik tagjának különbsége $d$ , kisebbik tagja $a$ , így a másik tag $a + d$ ; eszerint $d$ -nek is természetes számnak kell lennie. Az előírás szerint

\begin{matrix} a + (a + d) = d^{2}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a = \frac{d^{2} - d}{2} = \frac{d (d - 1)}{2} . \end{matrix}

(1)

Ez a kifejezés mindig természetes számot ad, ha

d

-ként

1

-nél nagyobb természetes számot választunk, hiszen

d

és az

1

-gyel kisebb szomszédja közül az egyik szám páros, tehát szorzatuk osztható

2

-vel; így persze a pár másik tagja is természetes szám. (

d = 1

esetén

a = 0

lenne.)
Ezzel azt is kaptuk, hogy végtelen sok olyan számpár képezhető, amely kielégíti a sorozat szomszédos tagjaira előírt követelményt. Pl. a

d = 5

-ből képződő számpár két tagja

a = 5 \cdot 4 / 2 = 10

és

a + d = 15

.
Másrészt a tetszés szerinti

d

-ből képezett pár nagyobbik tagja (1) alapján

\begin{matrix} a + d = \frac{d^{2} + d}{2} = \frac{(d + 1) d}{2}, \end{matrix}

(2)

és ez valóban (1)-ből is kiadódik, ha

d

helyére

d + 1

-et írunk. Eszerint: a

d

különbségű számpár nagyobbik tagja egyenlő a

d + 1

különbségű pár kisebbik tagjával. A példában kapott

15

kiadódik a

6 \cdot 5 / 2

alakból is.
Mindezek alapján a sorozat

c_{2}

második tagja és

c_{1}

első tagja közti

d

különbséget megválasztva (

d \geq 2

, természetes szám)

c_{1}

-et megadja (1),

c_{2} = c_{1} + d

, tovább pedig tagról tagra az

1

-gyel nagyobb számot vesszük a szomszédos tagok különbségének. Pl.

d = 5

-ből

\begin{matrix} c_{1} = 10, c_{2} = 10 + 5 = 15, c_{3} = 15 + 6 = 21, c_{4} = 21 + 7 = 28, ... \end{matrix}

II. Megadható olyan képlet, amelynek alapján a sorozat tetszés szerinti

n

sorszámú tagja a megelőző tagok előállítása nélkül kiszámítható. Legegyszerűbb ez, ha

c_{2} - c_{1}

-ként a megengedett legkisebb

d = 2

értéket választjuk: (1) tényezőit fölcserélve:

\begin{matrix} c_{1} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1, c_{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3, általában c_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} . \end{matrix}

Ha pedig

c_{2} - c_{1} = d_{1}

, akkor

\begin{matrix} c_{1} = \frac{(d_{1} - 1) d_{1}}{2}, c_{2} = \frac{d_{1} (d_{1} + 1)}{2}, általában c_{n} = \frac{(d_{1} + n - 2) (d_{1} + n - 1)}{2} . \end{matrix}

Vargha Ágnes (Kisvárda, Császy L. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Legyen a sorozat két egymás utáni tagja

u

és

v

, ahol

v > u > 0

, egész számok. Ekkor

\begin{matrix} u + v = {(v - u)}^{2}, \end{matrix}

v

szerint rendezve

\begin{matrix} v^{2} - (2 u + 1) v + (u^{2} - u) = 0, \end{matrix}

és az oldóképlettel

\begin{matrix} v = u + \frac{1}{2} (1 + \sqrt[]{8 u + 1}) . \end{matrix}

(3)

(A négyzetgyökjel előtt nem állhat mínuszjel a

v > u

megállapodás miatt.) Ez csak olyan

u

mellett lesz pozitív egész szám, amelyre

8 u + 1

négyzetszám, éspedig nyilvánvalóan páratlan szám négyzete:

\begin{matrix} 8 u + 1 = {(2 k - 1)}^{2}, \end{matrix}

(4)

ahol

k

egész szám. Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy

k

pozitív, továbbá

u \geq 1

miatt

k \geq 2

. Így (4)-ből, majd (3)-ból

\begin{matrix} u = \frac{{(2 k - 1)}^{2} - 1}{8} = \frac{k (k - 1)}{2}, \\ v = u + k = \frac{k (k + 1)}{2}, \end{matrix}

és ezek azonosak az I. megoldás (1), (2) eredményeivel.

Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., II. o. t.)

III. megoldás. Legyenek a sorozat tagjai

a_{0}

a_{1}

a_{2}

...

és legyen két egymás utáni tag különbsége

a_{i + 1} - a_{i} = b_{i} (i = 0

1

2

...)

, a feltevés szerint ez is természetes szám. A feladat követelménye két szomszédos számpárra:

\begin{matrix} a_{i + 1} + a_{i} = b_{i}^{2}, & (5) \\ a_{i + 2} + a_{i + 1} = b_{i + 1}^{2} . & (6) \end{matrix}

A bal oldalak különbsége

\begin{matrix} a_{i + 2} - a_{i} = (a_{i + 2} - a_{i + 1}) + (a_{i + 1} - a_{i}) = b_{i + 1} + b_{i}, \end{matrix}

így (6) és (5) különbsége

\begin{matrix} b_{i + 1} + b_{i} = b_{i + 1}^{2} - b_{i}^{2}, \end{matrix}

és mivel a bal oldal pozitív, egyszerűsíthetünk vele:

\begin{matrix} 1 = b_{i + 1} - b_{i}, \end{matrix}

vagyis a tagról tagra bekövetkező növekedés tagpárról tagpárra

1

-gyel növekszik, számtani sorozatot alkot:

\begin{matrix} b_{i} = b_{0} + i . \end{matrix}

(7)

Most már (5) alapján

\begin{matrix} (a_{i} + b_{i}) + a_{i} = b_{i}^{2}, \\ a_{i} = \frac{b_{i}^{2} - b_{i}}{2} = \frac{b_{i} (b_{i} - 1)}{2} = \frac{(b_{0} + i) (b_{0} + i - 1)}{2} & (8) \end{matrix}

és

a_{0} > 0

miatt

b_{0} > 1

.
Megfordítva, (8)-ból és (7)-ből következik (5), másrészt, hogy mint két szomszédos természetes szám szorzatának fele, természetes szám. Így a feladatnak eleget tevő sorozatokat első két tagjuk

b_{0}

különbsége egyértelműen meghatározza.
(Tusnády Gábor)