A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. I. Megmutatjuk, hogy előállíthatók olyan természetes számpárok, amelyek eleget tesznek a kívánt sorozat szomszédos tagjaira előírt követelménynek, továbbá hogy minden ilyen pár nagyobbik tagja egyenlő egy másik pár kisebbik tagjával. Ebből már következik, hogy egy megfelelő számpárból kiindulva úgy kapunk egy az előírást kielégítő, tetszés szerinti számú tagot tartalmazó számsorozatot, hogy nagyobbik számát a következő pár kisebbik tagjának vesszük, hozzá képezzük a nagyobbik tagot és ezt az eljárást ismételjük a tagok kívánt számának eléréséig. Legyen a számpár nagyobbik és kisebbik tagjának különbsége , kisebbik tagja , így a másik tag ; eszerint -nek is természetes számnak kell lennie. Az előírás szerint amiből Ez a kifejezés mindig természetes számot ad, ha -ként -nél nagyobb természetes számot választunk, hiszen és az -gyel kisebb szomszédja közül az egyik szám páros, tehát szorzatuk osztható -vel; így persze a pár másik tagja is természetes szám. ( esetén lenne.) Ezzel azt is kaptuk, hogy végtelen sok olyan számpár képezhető, amely kielégíti a sorozat szomszédos tagjaira előírt követelményt. Pl. a -ből képződő számpár két tagja és . Másrészt a tetszés szerinti -ből képezett pár nagyobbik tagja (1) alapján és ez valóban (1)-ből is kiadódik, ha helyére -et írunk. Eszerint: a különbségű számpár nagyobbik tagja egyenlő a különbségű pár kisebbik tagjával. A példában kapott kiadódik a alakból is. Mindezek alapján a sorozat második tagja és első tagja közti különbséget megválasztva (, természetes szám) -et megadja (1), , tovább pedig tagról tagra az -gyel nagyobb számot vesszük a szomszédos tagok különbségének. Pl. -ből | |
II. Megadható olyan képlet, amelynek alapján a sorozat tetszés szerinti sorszámú tagja a megelőző tagok előállítása nélkül kiszámítható. Legegyszerűbb ez, ha -ként a megengedett legkisebb értéket választjuk: (1) tényezőit fölcserélve: | |
Ha pedig , akkor | |
Vargha Ágnes (Kisvárda, Császy L. Gimn., II. o. t.) II. megoldás. Legyen a sorozat két egymás utáni tagja és , ahol , egész számok. Ekkor szerint rendezve és az oldóképlettel (A négyzetgyökjel előtt nem állhat mínuszjel a megállapodás miatt.) Ez csak olyan mellett lesz pozitív egész szám, amelyre négyzetszám, éspedig nyilvánvalóan páratlan szám négyzete: ahol egész szám. Az általánosság csorbítása nélkül feltehetjük, hogy pozitív, továbbá miatt . Így (4)-ből, majd (3)-ból
és ezek azonosak az I. megoldás (1), (2) eredményeivel. Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., II. o. t.) III. megoldás. Legyenek a sorozat tagjai , , , és legyen két egymás utáni tag különbsége , , , , a feltevés szerint ez is természetes szám. A feladat követelménye két szomszédos számpárra:
A bal oldalak különbsége | | így (6) és (5) különbsége és mivel a bal oldal pozitív, egyszerűsíthetünk vele: vagyis a tagról tagra bekövetkező növekedés tagpárról tagpárra -gyel növekszik, számtani sorozatot alkot: Most már (5) alapján
és miatt . Megfordítva, (8)-ból és (7)-ből következik (5), másrészt, hogy mint két szomszédos természetes szám szorzatának fele, természetes szám. Így a feladatnak eleget tevő sorozatokat első két tagjuk különbsége egyértelműen meghatározza. (Tusnády Gábor)
|