Feladat: 1171. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Takács Péter 
Füzet: 1968/december, 214. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/január: 1171. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elég (2) helyett a két oldal 1-gyel csökkentett értékei közt látni be a megfelelő egyenlőtlenséget:

d-[b][b]+n-2>-b[b]+n-1.
Ez akkor és csak akkor áll fenn, ha a bal oldalból levonva a jobbat, pozitív értéket kapunk. A nevezők pozitívok, mert [b]≧0 és a>2, így elég a különbség számlálójának az előjelét megállapítani. A számláló:
(d-[b])([b]+n-1)+b⋅([b]+n-2)=(d-[b]+b)([b]+n-1)-b.
Az első zárójelben álló kifejezés (1) felhasználásával így alakítható át:
d-[b]+b=([b]+1-b[b]+1-1)⋅[b]+b=b(1-[b][b]+1)=b[b]+1.
s így a vizsgálandó kifejezés a következő alakban írható:
b([b]+n-1[b]+1-1)=b(n-2)[b]+1,
ez pedig valóban pozitív, mert b és [b]+1 pozitív és n>2.
Nem kellett felhasználnunk, hogy n természetes szám, csak azt, hogy 2-nél nagyobb, továbbá b és [b] kapcsolatát sem, csupán azt, hogy [b]≧0.
 

  Takács Péter (Budapest, Berzsenyi D. Gimn. II. o. t.)