Feladat: 1170. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1968/október, 71 - 72. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nevezetes azonosságok, Köbszámok összege, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/január: 1170. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A +6 szám kívánt előállításában kell fellépnie pozitív és negatív egész szám köbének is, mert a legkisebb pozitív köböt véve 4⋅13<6, viszont a következővel 23>6. Így kapjuk a

6=23+(-1)3+(-1)3+03(*)(1)
előállítást, amiből mindjárt -6=(-2)3+13+13+03. Mivel bármely, az előírásnak megfelelő előállításbán mind a négy köbalap helyére a (-1)-szeresét írva, az összeg (-1)-szeresét kapjuk, ezért elég 6 pozitív többszöröseit tekintenünk.
Könnyíti a további próbálgatást az az észrevétel is, hogy (1)-ben két köb alapja páratlan; ugyanis már ebből látjuk, hogy mivel 6k és a tagok számapáros, a páratlan köbalapok számának mindig párosnak kell lennie. Másrészt, ha 6k nem osztható 8-cal, akkor kell is fellépnie páratlan alapnak, mert akárhány páros szám köbösszege osztható 23=8-cal.
Ezek alapján könnyen adódnak a következők (a köbalapokat abszolút értékük szerint csökkenően rendezve):
12=33+(-2)3+(-2)3+13,(*)18=23+23+13+13,=33+(-2)3+(-1)3+03=43+(-3)3+(-3)3+23,(*)24=23+23+23+03,=33+(-1)3+(-1)3+(-1)3,=53+(-4)3+(-4)3+33(*)

Majdnem mindegyik előállítás tartalmaz egyenlő alapokat és az ismétlődéseket jobban megfigyelve látjuk, hogy mind a négy szám (*) jelű előállításában a középső két alap egyenlő és ezek abszolút értékének a szélső alapok szomszédai.
 

b) Az ezekből adódó sejtés mindjárt bizonyítását is adja a feladat állításának, ugyanis a középső két alap abszolút értékét n-nel jelölve
(n+1)3+(-n)3+(-n)3+(n-1)3=6n,
és ez az azonosság minden egész n esetére ad egy az előírásnak megfelelő előállítást.