Kezdőlap


Feladat:	1169. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Klára , Mónus Ferenc
Füzet:	1968/október, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai szerkesztések, Vektorok felbontása összetevőkre, Gyakorlat, Harmonikus közép
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/december: 1169. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a szög csúcsa $C$ , a fölmért $a$ , $b$ szakasz végpontja rendre $A$ , $B$ , a szögfelező metszéspontja az $A B$ egyenessel $D$ , a $D$ -ben $C D$ -re állított merőlegesnek $C A$ -n és $C B$ -n levő pontja $A'$ , ill. $B'$ , végül $C A' = C B' = h^{*}$ .

Elég az

a < b

esettel foglalkoznunk, hiszen

a = b

esetén (1)-ből

h = a

, másrészt ekkor

A'

azonos

A

-val, az állítás helyessége nyilvánvaló.

a < b

esetén

B'

C B

szakaszon,

A'

pedig

C A

meghosszabbításán adódik, mert az

A B C

háromszögből

\begin{matrix} D A C ∢ = B A C ∢ > A B C ∢ = D B C ∢, \end{matrix}

így pedig,

A C D ∢ = D C B ∢

és

A' B' ⊥ C D

miatt

\begin{matrix} C D A ∢ < C D B ∢, vagyis \\ C D A ∢ < C D A' ∢ = 90^{\circ} = C D B' ∢ < C D B ∢, \end{matrix}

ami állításunkat bizonyítja.
Tükrözzük a

C A

egyenest a

D

pontra, ekkor

A'

képe

B'

A

képe pedig legyen

E

. Így

B' E ∥ C A

, és a

B B' E

B C A

hasonló helyzetű háromszögpárból

\begin{matrix} B' E : C A = A' A : C A = B' B : C B, \\ (h^{*} - a) : a = (b - h^{*}) : b, végül \\ h^{*} = \frac{2 a b}{a + b} = h, \end{matrix}

vagyis a szerkesztett szakasz egyenlő hosszú a keresett szakasszal. Ezt kellett bizonyítanunk.
(Ha a kiindulási

A C B

szöget konkávnak tekintjük, akkor felező félegyenesének

C

-n túli meghosszabbításán kapjuk

D

-t, mert az

A B

szakasz a kiegészítő konvex szögtartományban halad.)

Kovács Klára (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Isk., 8. o. t.)

II. megoldás. Tovább is a fenti jelöléseket használjuk. Legyen

B

-nek

C D

-re való tükörképe (a

C A

félegyenesen)

F

. Ekkor

\begin{matrix} F D A' ∢ = B D B' ∢ = A D A' ∢, \end{matrix}

tehát

D A'

felezi az

A D F

szöget, így a szögfelező osztásarányának tételét a

D A F

és

C A B

háromszögekre alkalmazva a fenti aránypár más alakját kapjuk:

\begin{matrix} A A' : A' F = AA' : B' B = A D : D F = A D : D B = CA : CB . \end{matrix}

Mónus Ferenc (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., I. o. t.)