A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vektorok segítségével az elemi matematika számolást igénylő feladatait is egyszerűen megoldhatjuk. Jól szemlélteti ezt a megállapítást az 1169. gyakorlat alábbi megoldása. Legyen a harmonikus közép megszerkesztéséhez használt szög csúcsa , a szárakra felmért , szakaszok végpontja , ill. . Vegyünk fel az -ból -ba, ill. -be mutató egységvektorokat, legyenek ezek e, ill. f. E vektorok választása miatt az , vektorok előállíthatók , alakban, ahol , épp az , szakaszok előírt hossza. Mivel az e, f vektorok hossza egyenlő, a vektor szerkesztéséhez használt paralelogramma rombusz, g állása tehát megadja az szög felezőjének az állását. Messe az egyenes ezt a szögfelezőt -ben, első lépésként a vektort állítjuk elő az e, f vektorok segítségével.
Mivel rajta van az egyenesen, , ahol alkalmasan választott skalár; azaz | | (1) | Mivel a szögfelezőn is rajta van, , ahol ugyancsak alkalmasan választott szám; azaz A d vektorra tehát két előállítást is kaptunk, ezekben és ismeretlen. Meghatározásukhoz azt használjuk fel, hogy a d kívánt előállítása egyértelmű, tehát a kétfajta előállításban szereplő együtthatók rendre egyenlőek:
Ennek az egyenletrendszernek a megoldása adja , értékeit: A d vektor keresett előállítása tehát: Szerkesztésünk következő lépésében az egyenesre a pontban emelt merőlegessel metszettük a szög szárait. Legyenek a metszéspontok rendre az , pontok, ekkor , előállításához hasonlóan , , ahol az , szakaszok hossza. Feladatunk a meghatározása. Azt használjuk fel, hogy az szakasz felezőpontja. Emiatt így a d vektor egy újabb előállítását kaptuk, melynek meg kell egyeznie a korábbi, (5) alatti előállítással, tehát amint azt bizonyítanunk kellett.
Megoldásunkkal kapcsolatban megjegyezzük, hogy az (1) alatti összefüggés alapján , , az , vektorok hossza tehát úgy aránylik egymáshoz, mint . Ebből (4) alapján kapjuk, hogy tehát a szögfelezőre vonatkozó ismert tételnek is egy újabb levezetését kaptuk. Ezt a tételt felhasználva az (5) alatti előállítást egyszerűbben is megkaphattuk volna a következő segédtétel alapján:
Az pontból az egyenes egy tetszőleges pontjába mutató vektor előállítható alakban, ahol (ez utóbbi arányban az , szakaszok hosszát előjelesen értjük: ha , iránya megegyezik, akkor előjelük egyforma, ha , ellentétes irányú, akkor a két szakasz hossza ellentétes előjelű). Valóban, a c vektor által meghatározott pontra | | tehát és állása megegyezik, így az egyenesen van. Hasonló módon kapjuk, hogy tehát a (9) alatti vektor által meghatározott pontra érvényes (10). Megoldásunk alapján az háromszög szögfelezőjének a hosszát is kiszámíthatjuk. A vektor szerkesztése alapján ahol . Így (5) alapján Lásd ezen számban 70. o. |