$ABCD=N$ négyzetbe írt hatszög oldala akkor a lehető legnagyobb, ha a köréje írható $k$ kör sugara a lehető legnagyobb. Legyen a négyzet középpontja $O$, egyik középvonala $EF$. Az $O$ körüli $k$ körvonal $N$ belsejében van, ha $d$ átmérője kisebb $EF$-nél, $N$-en kívül halad, ha $d>AC$. Így csak az olyan eseteket kell vizsgálnunk, amelyekre $EF\leqq d\leqq AC$. Ekkor $k$ az $N$ minden oldalát metszi: legyen az $AB$, $AD$ szakaszokon az $A$-hoz közelebbi metszéspont rendre $G$ és $H$. $k$-nak a $GH$, és további 3 íve van $N$-ben, ez utóbbi három a $GH$ ív $O$ körüli forgatásával állítható elő rendre ${90}^{\circ }$-os, ${180}^{\circ }$-os, ${270}^{\circ }$-os forgatással. Ha $k$-ba írható olyan hatszög, melyet $N$ tartalmaz, akkor ennek csúcsai csak erre a négy ívre eshetnek. Mivel 6 csúcs van, ez csak úgy lehet, ha van olyan ív, amelyiken legalább 2 csúcs van, vagyis az illető ívhez tartozó középponti szög legalább ${60}^{\circ }$-os. Mivel pedig az ívek egybevágók, mindegyikhez legalább ${60}^{\circ }$-os középponti szögnek kell tartoznia. $k$-ba tehát csak akkor írható megfelelő hatszög, ha $GOH\sphericalangle \geqq {60}^{\circ }$. Amikor a $GOH\sphericalangle ={60}^{\circ }$, a hatszög két csúcsa lehet $G$ és $H$, további két csúcsa ezek $O$-ra vonatkozó tükörképe, az utolsó két csúcs pedig $k$ és a $BD$ átló metszéspontja, hiszen $GOB\sphericalangle =AOB\sphericalangle -AOG\sphericalangle ={90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ }$. Ez tehát egyszersmind az $N$-be írható legnagyobb hatszög is, hiszen nagyobb sugarú $k$-hoz ${60}^{\circ }$-osnál kisebb $GOH$ szög tartozik, így abba ‐ mint láttuk ‐ nem írható megfelelő hatszög.