Kezdőlap


Feladat:	1CMG1164	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gulyás Imre , Tóth Ágnes
Füzet:	1968/május, 219 - 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1CMG1164 feladat dekódolása nem sikerült. 1967/december: 1CMG1164

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az adott számot így alakíthatjuk:

\begin{matrix} \sqrt[]{2 \sqrt[]{3} - 3} = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{2} (4 - 2 \sqrt[]{3})} = \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{2} {(\sqrt[]{3} - 1)}^{2}} = \\ = (\sqrt[]{3} - 1) \sqrt[]{\frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{4}}} = \sqrt[]{\frac{3 \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{4}}} - \sqrt[4]{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{\frac{27}{4}} - \sqrt[4]{\frac{3}{4}}, \end{matrix}

és ezt kellett megmutatnunk. A kérdéses racionális számok

a = 27 / 4

b = 3 / 4

II. megoldás. Azt kell belátnunk, hogy a

\begin{matrix} \sqrt[]{2 \sqrt[]{3} - 3} = \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} \end{matrix}

(3)

egyenletnek van racionális megoldása. Négyzetreemeléssel

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{3} - 3 = \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} - 2 \sqrt[4]{a b} . \end{matrix}

(4)

Próbáljuk meg, van-e megoldás a következő szétválasztással:

\begin{matrix} \sqrt[]{a} + \sqrt[]{b} = 2 \sqrt[]{3}, \\ 2 \sqrt[4]{a b} = 3, azaz \sqrt[]{a b} = 9 / 4. & (5) \end{matrix}

Innen

\sqrt[]{a}

és

\sqrt[]{b}

a következő egyenlet gyökei:

\begin{matrix} t^{2} - 2 \sqrt[]{3} t + \frac{9}{4} = 0, azaz t_{1} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}, t_{2} = \frac{3 \sqrt[]{3}}{2}, \end{matrix}

és mivel (3) mindkét oldala pozitív,

a > b

, azért

\begin{matrix} \sqrt[]{a} = t_{2}, a = t_{2}^{2} = \frac{27}{4}, b = \frac{3}{4}, racionális számok. \end{matrix}

Ezzel az állítást bebizonyítottuk.

Gulyás Imre (Budapest, Piarista gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Célhoz érünk az ismert^{$^{*}$}

\begin{matrix} \sqrt[]{A - \sqrt[]{B}} = \sqrt[]{\frac{A + \sqrt[]{A^{2} - B}}{2}} - \sqrt[]{\frac{A - \sqrt[]{A^{2} - B}}{2}} \end{matrix}

azonosság alapján is, ezt az (1)-nek

\begin{matrix} \sqrt[]{2 \sqrt[]{3} - 3} = \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[]{2 - \sqrt[]{3}} \end{matrix}

átalakításában adódott második tényezőre alkalmazva, ugyanis

A = 2

B = 3

esetén

A^{2} - B = 1

, teljes négyzet.

Tóth Ágnes (Budapest, Berzsenyi D. gimn., I. o. t.)

^{$^{*}$}Lásd pl. Faragó László: Matematika szakköri feladatgyűjtemény, 3. kiadás, Középiskolai Szakköri Füzetek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1963, 14. o. 80. feladat.