Kezdőlap


Feladat:	1163. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Pintér János
Füzet:	1968/szeptember, 27. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Függvényvizsgálat, Különleges függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/december: 1163. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A függvény értelmezési tartományába minden szám beletartozhat, kivéve az $1$ -et, az $a$ -t és a $b$ -t, itt a függvény nincs értelmezve.
Az értékkészlet megállapításához a függvényt egyszerűbben a következő alakban írjuk:

\begin{matrix} y = \frac{1}{1 - x} (x + \frac{a}{1 - a} + \frac{b - x}{(1 - a) (1 - b)}), \end{matrix}

majd a nagy zárójelben a törteket összeadjuk. Közös nevezőnek alkalmas a 3. tört nevezője, így bővítéssel a számlálók összege

\begin{matrix} x (1 - a) (1 - b) + a (1 - b) + b - x = \\ = (a + b - a b) - x (a + b - a b) = (1 - x) (a + b - a b) \end{matrix}

(beszoroztunk, majd ismét szorzattá alakítottuk az összeget). Észrevéve az egyszerűsítési lehetőséget

\begin{matrix} y = \frac{1}{1 - x} \cdot \frac{(1 - x) (a + b - a b)}{(1 - a) (1 - b)} = \frac{a + b - a b}{(1 - a) (1 - b)} \end{matrix}

(ugyanis

1 - x \neq 0

, hiszen

x = 1

nem tartozik az értelmezési tartományba). Eszerint

y

értéke

x

-től függetlenül a jobb oldali szám, az a szám egyedül alkotja függvényünk értékkészletét.

Pintér János (Székesfehérvár, Teleki B. gimn. II. o. t.)