Feladat: 1161. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Göndőcs Ferenc ,  Melegh Ervin 
Füzet: 1968/október, 68 - 69. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometria, Skatulyaelv, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/november: 1161. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szúrjunk mindegyik adott pontba egy gombostűt, fektessünk köréjük egy zsinórt, végül húzzuk ezt össze úgy, hogy tűtől tűig egyenesdarabokat adjon (és valamelyik tűnél záródjék). A zsinór kifeszített részét az adott pontok konvex burkának nevezzük.

 

 

Háromféle helyzet adódhat.
a) A burok háromszög, és 2 pont ennek belső pontja (a föltevés miatt nem lehet a kerületen). Egyik pontból félegyeneseket húzva a háromszög csúcsaiba, az ezek közti 3 konvex szög öszszege 360∘, ezért legalább egyikük mértékszáma legalább 120∘.
 

b) A burok négyszög és 1 pont a belsejében van. Ez a pont a négyszögnek 2 háromszögre való felbontása után egyik háromszögnek belső pontja, hiszen nem lehet rajta egyik átlón sem, tehát ismét elmondhatjuk az a) meggondolást.
 

c) A konvex burok ötszög. Ekkor szögeinek összege 540∘, így vagy mindegyik szöge 108∘, vagy egyikük nagyobb 108∘-nál.
 

 Göndőcs Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.)
 Melegh Ervin (Esztergom, Temesvári Pelbárt Gimn., I. o. t.)
 

Megjegyzés. Ha az 5 pont egy olyan ötszög csúcsainak a halmaza, amelyiknek minden szöge 108∘, akkor ez az előforduló legnagyobb szög. Az a) és b) esetben láttuk, hogy előfordul legalább 120∘-os szög. Megmutatható ezekben az esetekben, hogy előfordul mindig 120∘-nál nagyobb szög is. Ennek igazolását az olvasóra bízzuk.